Runge-Kutta

Key words: Investigation Project, Differential Equation, Mathematical Analysis, Numerical Methods, Chemical Engineering.
Palabras Clave: Proyecto de Investigación, Ecuación Diferencial, Análisis Matemáticos, Métodos Numéricos, Ingeniería Química.


RESUMEN
Las ecuaciones diferenciales que modelan una realidad específica, aumentan su complejidad cuanto más se aproximen al comportamientoreal del objeto o fenómeno que se estudia, esta es la razón por la cual en la mayoría de los casos hallar su solución por métodos analíticos es imposible, lo que nos lleva a utilizar los métodos numéricos.

Este trabajo de investigación tiene como objetivo desarrollar una idea de cómo se plantea la teoría general y su respectiva aplicación en las ecuaciones diferenciales con el método deRunge-Kutta, realizando cuadros comparativos entre los valores reales y los aproximados en determinados casos.

Se concluye también, que el método de Runge-Kutta de cuarto orden da respuestas más exactas que el resto de los métodos mencionados en este texto.

ABSTRACT
The differential equations that model a specific reality, increase their complexity when they are closer at the real behavior of theobject or phenomenon under study, this is the reason by which in the majority of the cases find their solution by analytical methods is impossible, that take us to use numerical methods.

This research work has as objective develop an idea of how is propose the general theory and its respective application in the differential equations with the Runge-Kutta method, doing comparative frames betweenthe real and approximates values in determinate cases.

It concludes also that the Runge-Kutta method of fourth order gives more accurate answers that the rest of the mentioned methods in this text.

INTRODUCCION
Las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales dentro de la ingeniería en general son muchas. Estas, de igual manera pueden ser utilizadas para explicar los fenómenosfísicos que se presentan en las diversas situaciones y problemas que se dan frecuentemente en aquellas ramas de estudio.

Debido a que la mayoría de estas no tienen una solución numérica, se ha visto la necesidad de implementar métodos que nos permitan determinar una cantidad real para un problema dado.

El método de Rugen-Kutta es un método iterativo, explícito e implícito de resolución numéricapara ecuaciones diferenciales. Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valores iniciales y' = f(x, y), y(x0) = y0 es el método de Runge-Kutta de cuarto orden.

Como el nombre lo indica, existen métodos de Runge-Kutta de diferentes órdenes.
En esencia, los métodos de Runge-Kutta songeneralizaciones de la fórmula básica de Euler.


MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Para poder demostrar la precisión del método de Runge-Kutta, lo mejor es hacer un análisis comparativo entre este y el método de Euler, de acuerdo a su aplicación.

Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valoresiniciales y' = f(x, y), y(x0)= y0es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Como el nombre lo indica, existen métodos de Runge-Kutta de diferentes órdenes.

En esencia, los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euleren que la función pendiente f se reemplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn ≤ x≤xn+1.
Es decir,
(1)

Aquí los pesos wi,i = 1, 2,. . ., m, son constantes que generalmente satisfacen w1 + w2 +. . . + wm = 1, y cada ki, i = 1,2,..., m, es la función f evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el que xn ≤ x≤xn+1. Notamos que las ki se definen recursivamente. El número m se llama el orden del método. Observe que al tomar m = 1, w1 = 1 y k1 = f(xn, yn), se obtiene la conocida fórmula de Euleryn+1 = yn + hf(xn,...