Runge Kutta

Métodos de Runge Kutta

Los métodos de Taylor tienen la propiedad de un error local de truncamiento de orden superior, pero la desventaja de requerir el cálculo y la evaluación de las derivadas de f(t, y). Esto resulta algo lento y complicado, en la mayoría de los problemas, razón por la cual, en la práctica casi no se utilizan. El método de Euler, lamentablemente requiere de un paso muy pequeñopara una precisión razonable.
Los métodos de Runge Kutta tienen el error local de truncamiento del mismo orden que los métodos de Taylor, pero prescinden del cálculo y evaluación de las derivadas de la función f (t, y).
Se presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta aproximar:


Como en los métodos anteriores, se determina primero la malla {t0, t1,..., tN} de paso h,donde t0 = a y  tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.
En esencia, los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler yi+1 = yi + h f(ti, yi) en los que el valor de la función f se reemplaza por un promedio ponderado de valores de f en el intervalo ti ≤ t ≤ ti+1, es decir:En esta expresión las ponderaciones wi, i = 1,..., m son constantes para las que en general se pide que su suma sea igual a 1, es decir, w1 + w2 +... + wm = 1, y cada kj es la función f evaluada en un punto seleccionado (t, y) para el cual ti ≤ t ≤ ti+1. Se mostrará que los kj se definen en forma recursiva.
Se define como orden del método al número m, es decir, a lacantidad de términos que se usan en el promedio ponderado.
Runge-Kutta de primer orden
Si m = 1, entonces se toma w1 = 1 y la fórmula (2) resulta:


Igualando esta fórmula al desarrollo de Taylor de orden 1 de la función y(t), alrededor del punto ti, y calculado en el punto ti+1:

y teniendo en cuenta que yi @ y(ti), resulta k1= f(ti, yi), obteniendo así la fórmula de Euler yi+1 = yi + h f(ti, yi).Por lo tanto, se dice también que el método de Euler es un método de Runge Kutta de primer orden.
Runge-Kutta de segundo orden
Ahora se plantea, con m = 2, una fórmula del tipo:

Donde



Y las constantes a, b, ,  se deben determinar, de manera que la expresión (5) coincida con el desarrollo de Taylor de y de orden más alto posible.
Para ello, utilizando un desarrollo de Taylor para funciones dedos variables, tenemos que:

Donde el subíndice i indica que todas las derivadas están evaluadas en el punto (ti, yi)
Reemplazando k1 y teniendo en cuenta la expresión de k2, tenemos que:

Agrupando los términos, por las potencias de h, y reemplazando en la expresión el valor de k1 y  k2, resulta.

Reacomodando términos , resulta:

Por otro lado, se hace un desarrollo de Taylor de orden 3 de lafunción y(t), calculado en el punto ti+1, obteniendo:



Aplicando regla de la cadena para las derivadas de f, se tiene:

Comparando las expresiones, e igualando los coeficientes de h y h2, se tiene:


Sucede que se tienen cuatro incógnitas, pero tres ecuaciones, con lo que queda un grado de libertad en la solución del sistema dado. Se trata de usar este grado de libertad para hacer que loscoeficientes de h3 en las expresiones coincidan. Esto obviamente no se logra para cualquier f.
Hay muchas soluciones para el sistema, una de ellas es


Obteniendo así la siguiente fórmula, del método de Runge Kutta de orden 2:



Para i desde 0 hasta N-1, tomando un mallado {ti, i = 0,.., N}
Este método tiene un error local de O (h3), y global de O (h2).
Mejora entonces el método de Euler, por lo quese espera poder usar con este método un paso mayor. El precio que debe pagarse en este caso, es el de evaluar dos veces la función en cada iteración.
De la misma manera que se realizó arriba, se pueden derivar fórmulas de Runge-Kutta de cualquier orden, pero estas deducciones resultan excesivamente complicadas. Una de las más populares, y más utilizada por su alta precisión, es la de orden 4, que...