Runge

Métodos de Runge-Kutta

Los métodos asociados con los nombres de Runge, Kutta, Heun y otros para resolver PVI consisten en obtener un resultado que se obtendría al utilizar un número finito de términos de una serie de Taylor de la forma
(7.25)

Con una aproximación en la cual se calcula Yi+1 de una formula del tipo
(7.26)

Donde las se determinan de modo que si se expandiera , con 1 pen series de Taylor alrededor de () se observaría que los coeficientes de h, hh, etc…. Coincidirían con los coeficientes correspondientes de la ecuación 7.25. A continuación se derivara solo el caso mas simple, cuando p=1, para ilustrar el procedimiento del caso general, ya que los lineamientos son los mismos. A fin de simplicar y sistematizar la derivación, conviene expresar la ecuación 7.26con p=1 en la forma
(7.27)

Obsérvese que en esta expresión se evalúa f en y . El valor de es tal que para mantener la abscisa del segundo punto dentro del intervalo de interés, con lo que 0<u1.

Por otro lado, b puede manejarse más libremente y expresarse , sin perdida de generalidad, como una ordenada arriba o debajo de la ordenada que da el método de Euler simple.
(7.28)

ConFigura 7.8 Deducción del método de Runge-Kutta

Queda entonces por determinar y tales que la ecuación 7.27 tenga una expansión en potencias de h cuyos primero términos, tantos como sea posible, coincidan con los primeros términos de la 7.25.
Para obtener los parámetros desconocidos, se expande primero en serie de Taylor (obviamente mediante el desarrollo de Taylor de funciones de dosvariables)
(7.29)

Todas las derivadas parciales son evaluadas en .

Se sustituye la ecuación 7.27

Esta última ecuación se arregla en potencias de h y queda:
(7.30)

Para que los coeficientes correspondientes de h y coincidan en las ecuaciones 7.25 y 7.30 se requiere:

, (7.31)

Hay cuatro incognitas para solo tres ecuaciones y, por tanto, se tiene un grado de libertad en la solución dela ecuación 7.31. Podria pensarse en usar este grado de libertad para hacer coincidir los coeficientes de . Sin embargo, es obvio que esto es imposible para cualquier forma que tenga la función . Existe entonces un numero infinito de soluciones de la ecuación 7.31, pero quizá la mas simple sea:

Esta elección conduce al sustituir en la ecuación 7.27 a:
O bien

Con; (7.32)

Conocida como algoritmo de Runge-Kutta de segundo orden(lo de segundo orden por coincidir con los primeros tres términos de la serie de Taylor), y que es la formula del método de Euler modificado, con dos pasos sintetizados en uno.

Por ser orden superior al de Euler, este método propociona mayor exactitud; por tanto, es posible usar un valor de h no tan pequeño comoen elprimero. El precio es la evaluación de f(x,y) dos veces en cada subintervalo, contra una en el método de Euler. Las formulas de Runge-Kutta de cualquier orden se puede derivar en la misma forma en que se llega ala ecuación 7.32.

El método de Runge-Kutta de cuarto orden (igual que para orden dos, existen muchos métodos de cuarto orden) es una de las formulas mas usadas de esta familia y estadado como :
(7.33)
Donde:


En la ecuación 7.33 hay coincidencia con los primeros cinco términos de la serie de Taylor, lo cual significa gran exactitud sin calculo de derivadas; pero a cambio, hay que evaluar la función f(x,y) cuatro veces en cada subintervalo.Al igual que en el método de Euler modificado, puede verse a los métodos de Runge-Kutta como la ponderación de pendientes, k1, k2,k3, k4 con pesos 1, 2, 2,1, respectivamente para el caso de cuarto orden, dando lugar a una recta pendiente (k1+2k2+2k3+k4)/6 y que pasa por el punto y que es la que se usa para obtener

Figura 7.9 Interpretacion grafica del método de Runge-Kutta de cuarto orden

Ejemplo 7.4
Resuelva EL PVI del ejemplo 7.1 por el método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK-4).
Al tomar nuevamente cinco...