Rungekutta

Metodos Numericos
Capitulo 16: Metodo de Runge-Kutta de 4to orden
Los metodos desarrollados por Runge (1885), Kutta (1901), Heun (1900) y otros para la solucion de problemas con valor enla frontera. Este consiste en obtener un resultado que se obtendria al utilizar un numero finito de terminos de una serie de Taylor de la forma:

Este metodo es superior al metodo de puntomedio (Runge-Kutta de segundo orden) ya que contiene los primeros cinco terminos de la serie de Taylor, lo cual significa gran exactitud sin el calculo de las derivadas, pero se tiene queevaluar la funcion f(x) cuatro veces para cada subintervalo.
Reacomodando para los valores de f(x) y haciendo f(x)' = y + hf(x), se tiene:





Las reglas o formulas de Runge-Kutta de orden cuatropara la ecuacion diferencial:


Ejemplo 1:
Usar el metodo de Runge-Kutta para aproximar

dada la siguiente ecuacion diferencial:


Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dosmetodos anteriores. Segundo, se procede con los mismos datos:

Para poder calcular el valor de , debemos calcular primeros los valores de




Se tiene entonces que: 





con el fin de un mayorentendimiento de las fórmulas, vea la siguiente iteración:






El proceso debe repetirse hasta obtener:
iEn la siguiente tabla, se resumen los resultados de las iteraciones:

Se concluyeque el valor obtenido con el metodo de Runge-Kutta es:

Finalmente se calcula el error relativo verdadero:

Con lo cual se ve que efectivamente se ha reducido mucho el error relativo. Dehecho se observa que tenemos 6 cifras significativas en la aproximacion!
Ejemplo: Usar el metodo de Runge-Kutta para aproximar   dada la ecuacion diferencial:


Igual que siempre, si se toma:    se llega a la aproximacion en dos pasos.
Con esta aclaracion, se tienen los siguientes datos:

Primera Iteracion:






Segunda iteracion:






entonces que el valor buscado es: