Sólidos, Modelo De Empaquetamiento Comacto De Esferas

Sólidos – Son todos iguales?
Amorfos:

orden de corto alcance
(vidrios)

Cristalinos: orden periódico
repetitividad en el espacio
Estructura (local+periódica) ⇔ Propiedades

Cristales
Sal de
Mesa

Azucar

Calcita
(CaCO3)

Hielo

Cristales
Galio

Insulina

Proteina
(Elastasa
Porcina)
[Mn12O12(O2CCHCl2)16(H2O)4

Cristales
Presentan estructuras geométricasreconocibles.
Poseen una composición constante.
Presentan propiedades definidas y
frecuentemente distintas de la de los
sólidos no cristalinos.

Orden y Periodicidad
Repetición de objetos
en el espacio

Patrones repetitivos
Simetría traslacional

• La estructura del sólido cristalino se
representa mediante la repetición de la
celda unidad en las tres direcciones
del espacio

Celdaunidad

Translación
eje y

Translación
eje X

Translación
eje Z

Descripción de un Sistema
Periódico
(Arreglo infinito de puntos ordenados)

a
0

1a

1 dimensión, una sola red posible
2a

3a

Red de Bravais
Unidimensional

Redes de Bravais
Bidimensionales
¿De cuántas maneras se llena el plano por traslación?

5 redes bidimensionales
Oblicua
a, b sin restriccionesγ sin restricciones

b

a

b
a

Rectangular
a, b sin restricciones
γ = 90°(P), γ s/r (C)

primitiva

centrada

Cuadrada
a=b
γ =90°

b

Hexagonal
a=b
γ =120°

a

a

Sistemas Cristalinos
Tridimensionales

14 Redes de Bravais
CUBICA

ORTOROMBICA

MONOCLINICA

•

Tipo de celda unidad
–
–
–

TRICLINICA
–

P: Primitiva (1 pt)
I: centrada en elcuerpo
F: Centrada en las
caras
C: centrada en los
lados

Empaquetamiento de círculos
(o como hacer empaquetamientos “densos”)

Empaquetamientos
Son todos iguales?
Carl Friedrich Gauss demostró que en 2D, la disposición regular de
círculos con mayor densidad es el empaquetamiento hexagonal
(1777-1855)

Empaquetamientos compactos vs. no compactos
“hexagonal”
(compacto)

“cuadrado”(no compacto)

mejor aprovechamiento del
espacio disponible (más círculos
por unidad de área)

Y en 3D?

Empaquetamientos no compactos en 3D

1er caso: Empaquetamiento cúbico no compacto

“celda unidad”

Empaquetamientos no compactos en 3D
• Celda cúbica simple

r
a

Eficiencia del empaquetamiento???

Empaquetamientos no compactos en 3D
• Celda cúbica simple

Nº decoordinación:6
Átomos por celda: 8 vértices*1/8 =1
Relación entre la longitud de arista y el
radio del átomo: 2r = a

r
Eficacia del empaquetamiento: 52%

a

Vocupado
Vcelda

=

(4 3 )π r 3
a

3

=

(4 3 )π r 3
(2r)

3

=

π
6

= 0 .52

Empaquetamientos no compactos en 3D

Otro caso: Celda cúbica centrada en el cuerpo

Empaquetamientos no compactos en 3DCelda cúbica centrada en el cuerpo
Nº de coordinación = 8
Átomos por celda = 8 x 1/8 +1 = 2
Relacion arista/radio

a=

4
3

Vocup
Vtotal

1

r

2

43
1
2× π r
32
3
=
=
π ≈ 0.68
3
8
4 
 1 r
3 2 

En 1611 (!!) Johannes Kepler conjeturó (pero no demostó!!)
que en 3D el arreglo periódico de esferas sólidas e idénticas con
mayor densidad promedio está dado por losllamados
empaquetamientos compactos. La densidad de estos arreglos
es un poco mayor al 74%
En 1998 Thomas Hales, actualmente Andrew Mellon Professor
en la Universidad de Pittsburgh, anunció que tenía una prueba
de la conjetura de Kepler. La prueba de Hales involucra
complejos cálculos en computadora.
Los árbitros han dicho que están "99% seguros" de la exactitud
de la prueba de Hales. Sinembargo los métodos utilizados por
Hales para la demostración no son suficientemente rigurosos,
por lo que no está ni mucho menos acabado el problema. Por
tanto, quizá en unos años, la conjetura de Kepler esté más cerca
de convertirse en un teorema.

Empaquetamientos compactos en 3D

Apilando Capas del empaquetamiento

Primera Capa
Cada Atomo tiene 6 vecinos

1ra capa

Segunda...