Sólidos Platónicos


EL ORIGEN DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
El origen de los sólidos platónicos como elemento para ser estudiado por las matemáticas se halla sin duda, en la antigua Grecia. Son los griegos quienes por primera vez entienden que esos poliedros han de ser estudiados. Sin embargo para que cualquier cultura se plantee estudiar algo en un determinado momento de su historia, tienen que conocerlo conanterioridad, e incluso, con mucha anterioridad. Y este es, en concreto, el caso de los sólidos platónicos.
La primera noticia que se conoce sobre estos poliedros, procede de un yacimiento neolítico en Escocia, donde se encontraron figuras de barro de aproximadamente 2000 a.C. Se cree que se trataba de elementos decorativos o, tal vez, de algún tipo de juego. Es evidente que no había ningunacomprensión matemática de estos objetos, pero ya tenían identificados exactamente los cinco sólidos. Es probable que tampoco se preguntasen si había más sólidos o, en todo caso, era algo que no les preocupaba lo suficiente como para estudiarlo a conciencia.

Se cree que fue Empédocles (480 – 430 a.C.) quien por primera vez asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, elagua y el aire respectivamente. Platón (447 – 347 a.C.) relacionó posteriormente el dodecaedro con la sustancia de la que estaban compuestas las estrellas, ya que por aquellos tiempos se pensaba que ésta habría de ser diferente a cualquiera de las de la Tierra. En su diálogo Timeo, Platón pone en boca de Timeo de Locri estas palabras:“El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; elagua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al m undo”.Desde entonces los sólidos pitagóricos pasaron a llamarse sólidos platónicos, nombre que conservan en la actualidad.

DEFINICIÓN DE SÓLIDO PLATÓNICO
Se dice por definición que un sólido platónico es un poliedro regular. El nombrepor lo pronto hace honor a la idea que tenemos de un sólido platónico. Para entender de manera exacta que es la regularidad en el espacio recordemos la definición en el plano. En dos dimensiones los polígonos son regulares si todos sus ángulos son iguales entre sí y todos sus lados son también iguales entre sí. El
equivalente a esta segunda condición en el espacio sería que todas las caras delpoliedro regular sean iguales entre sí. Además, en el plano todos los polígonos regulares son convexos, propiedad que debemos imponer en tres dimensiones, ya que en principio un poliedro podría no ser no convexo (de hecho veremos más adelante que éstos son los sólidos de Kepler). Pero esto no es suficiente para nuestra idea de regularidad, no es muy difícil imaginar un poliedro convexo formadoexclusivamente a base de romboides, y es improbable que alguien pudiera considerarlo regular.



Si un poliedro tiene todos sus vértices iguales entre sí se dice que es de vértices uniformes.
Un poliedro regular es todo aquel poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí, y cuyos vértices son iguales.


PROPIEDADES
Dimensiones fundamentales
En los sólidos platónicoscomo en cualquier poliedro existe una serie de dimensiones que es importante conocer. Éstas son el área de la superficie y el volumen del sólido. Sea a el tamaño de la arista de un sólido platónico. Entonces, si es el poliedro es:







Simetría
Los sólidos platónicos están llenos de simetrías. De hecho, tienen todos los tipos de simetrías que existen en el espacio, es decir, respecto aun punto, respecto a un eje y respecto a un plano.
-  Simetría puntual: Para cada uno de los 5 sólidos existe un punto, que es siempre el punto central del poliedro que es el centro de simetría en la simetría puntual.
-  Simetría axial: Todos los sólidos tienen además varios ejes de simetría. Para cada poliedro la cantidad varía; pero en todos ellos el eje de simetría pasa por el centro...