S0100TransLap

Serie 1

TRANSFORMADA
DE LAPLACE

Definición
∞

L[ f (t )] ≡ F (s) = ∫ f (t ) e dt
−st

0

Relaciona funciones dependientes del tiempo con funciones dependientes de una
variable compleja s. Permiteresolver ecuaciones diferenciales, convirtiéndolas en
ecuaciones algebraicas de sencilla resolución.
La F(s) no tiene ninguna información sobre el comportamiento de f(t) para t < 0. La
información quenos interesa se presenta para t = 0 ó t > 0.
Ejemplo: La transformada de f(t) = e-t, será:

[ ]= ∫

Le

−t

∞
0

−t

e e

− st

dt =

∫

∞
0

e

− ( s + 1 )t

− 1 − ( s +1 )t
dt =
e
s +1

∞

0

1
=
s+1

Generalmente no es necesario resolver la integral, porque las transformadas más usadas
aparecen en tablas.

Propiedades
L[af (t ) + bg (t )] = aL[ f (t )] + bL[g (t )]

L[ f (t − T )] = e −Ts L[f (t )]

L−1 [aL( f (t )) + bL( g (t ))] = a[ f (t )] + b[g (t )]

L e − at f (t ) = F ( s + a )

 df (t ) 
L
= s F ( s ) − F (0)

 dt 

 t 
L  f ( ) = aF (as)
 a 

 d 2 f (t ) 
2
L
=s
F ( s ) − sF (0) − F´(0)

2
 dt 

 s 
L  F ( ) = af (at )
 a 

L ∫


F (s )

f (t ) d t =
+

s

∫

]

−1

f (t ) d t
0

s

[

t
F (s )


L ∫ f (t ) d t =
 0

s

Teorema de laconvolución

Sean F1(s), F2(s) y sus respectivas f1(t) y f2(t) conocidas.
Para conocer la transformada inversa del producto F1(s)F2(s) que no figura en tabla, se
puede aplicar el teorema de laconvolución, que establece la siguiente relación:

t

L [F1 (s )F2 (s )] = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
−1

0

Transformada inversa
También se conoce como antitransformada.

1
L [ F ( s )] ≡ f (t ) =
2 jπ
−1∫

c + j∞

F ( s ) e st ds
c − j∞

Ejemplo: La transformada inversa de 1/(s+1) será:

−1 

1 
1
=
L 
 s + 1 2 jπ

∫

c + j∞
c − j∞

1
e st ds = e − t
s +1

Igual que en la transformada directa, enla mayoría de los casos no es necesario resolver
las integrales, ya que las soluciones se encuentran en tablas.

Expansión en fracciones simples
Se utiliza para facilitar el cálculo de la...