S0400Dinamica

Serie 4

Dinámica de Procesos

Función de Transferencia
• Se define como G(s) = Y(s) / X(s)
• Representa un modelo normalizado de un proceso, donde
Y(s) es la variable de salida y X(s) es una de las entradas.
• Y(s) and X(s) están expresadas como variables desviación.
• La forma de la función de transferencia representa el
comportamiento dinámico del proceso.

X(s)

PROCESO
G(s) = Y(s) / X(s)Y(s)

Pasos para hallar la G(s)
Plantear el balance correspondiente

Entrada − Salida ± Generación = Acumulación

Ecuación diferencial (ED)

Ecuación diferencial (ED)

Sí

Lineal?

No

Linealizar
Ecuación diferencial lineal

Linealizar con expansión en serie de Taylor
Si la ecuación diferencial no es lineal, hay que linealizar los
términos no lineales de la misma (por ejemplo, exp(a), a2, a*b,b1/2).

 dy 
y ( x) ≈ y ( x0 ) + ( x − x0 )
+ ...

 dx  x = x 0
Esta expresión provee una aproximación lineal de la función y(x)
alrededor de x=x0.
Cuanto más cercano sea x a x0, más exacta será la aproximación.
Cuanto menos lineal sea la ecuación original, menos exacta será la
aproximación.

Ecuación diferencial lineal
Restar balance en estado estacionario
Sí
Ecuación diferencial
linealenNo
variables desviación

Aplicar Transformada de Laplace
Ecuación algebraica en s (Y = f (X, Z, W, …)

Ecuación algebraica en s (Y = f (X, Z, W, …)
Aplicar principio de superposición
Sí
Ecuación
algebraica Y(s)
No = f (X(s))

Reordenar
Función de transferencia G(s) = Y(s) / X(s)

Función de transferencia G(s) = Y(s) / X(s)
Aplicar cambio en X y antitransformar
SíRespuesta temporal
No y(t)Aplicar TVI

Aplicar TVF

y(0)

y(∞)

Teorema del Valor Final
lim t →∞ [ f (t )] = lim s →0 [s F ( s )]

• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor final de estado
estacionario de esa función.

Teorema del Valor Inicial
lim t →0 [ f (t )] = lim s →∞ [s F ( s )]

• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor inicial de esafunción.

Respuesta Dinámica
1
G ( s) =
2
( s + a ) ( s + bs + c) ( s − d )
A
B
C
Y ( s) =
+ 2
+
( s + a ) ( s + bs + c) ( s − d )
y (t ) = A′ e − at + B′ e pt sin(ω t ) + C ′ e dt
Siendo a, b, c y d, constantes positivas, la función de transferencia
muestra respuestas de caída exponencial, oscilatoria y crecimiento
exponencial, respectivamente.

Polos en el plano complejo
Raíces
s41 (a4,b4)
s31(0,b3)
s21 (a2,b2)

s1 (-a1,0)

a1t

a2t

s21, s22

e− (K1 cosb2t ± K2 senb2t )

s31, s32

(K3 cosb3t ± K4 senb3t )
ea4t (K5 cosb4t ± K6 senb4t )

s5

K6 e

s6

K7

s5 (a5,0)

s22 (a2,-b2)

K0 e −

s1

s41, s42
s6 (0,0)

Términos para t>0

a5t

ai y bi son constantes positivas.
s32 (0,-b3)
s42 (a4,-b4)

Ki son constantes arbitrarias y
pueden determinarse por expansión
en fracciones simples.

Raíces yrespuestas
Real negativa
Caída
exponencial
Complejas conjugadas
con parte real negativa
Sinusoide
Amortiguada
Complejas conjugadas
con parte real positiva
Sinusoide
creciente
(inestable)

Comportamiento Inestable
Si la salida de un proceso crece ilimitadamente para
una entrada acotada, el proceso es inestable.
Si la parte real de cualquier polo de una función de
transferencia es positiva, elproceso es inestable.
Si algún polo está localizado en el plano derecho, el
proceso es inestable.

Ejemplo
Mezcla de dos corrientes con cp = 1. Nivel constante. Ө vs. Ө1?
Balance (Ec. dif.)
Linealización

F1 θ1 + F2 θ 2 − ( F1 + F2 ) θ = M

dθ
dt

F1 θ1 = ( F1 θ1 ) e + (d ( F1 θ1 ) / dθ1 ) e (θ1 − θ1e )
+ (d ( F1 θ1 ) / dF1 ) e ( F1 − F1e ))

Variables desviación

θ = θ −θe

θ 1 = θ1 − θ1e θ 2 = θ 2− θ 2 e

Restar BEE.
ED linealizada en
variables desviación.

dθ
M
= F1e θ 1 + θ1e F 1 − ( F1 + F2 ) e θ
dt

Aplicar transformada de Laplace para
obtener una ecuación algebraica
(T=f(T1, F1).

F1e θ 1 ( s ) + θ1e F 1 ( s )
θ ( s) =
[M s + ( F1 + F2 ) e ]
F1e
θ (s)
( F1 + F2 ) e
K
=
=
G (s) =
M
θ1 ( s )
s + 1 Ts + 1
( F1 + F2 ) e

Usar principio de superposición y
reordenar para hallar la...