S10 Espacio De Estados Fisicos Matriz De Transformaci N

>>ss…
>>eye…

>>tf2ss… >>ss2tf… >>ss2ss…
>>fliplr… >>deconv…

jlc




Por leyes físicas
Por elementos que almacenan energía.

TEMAS EXPUESTOS EN CLASES.

jlc

jlc

A continuación mostramos como obtener la
FT de un sistema de una sola entrada y una
sola salida a partir de las ecuaciones en
el EE.
Consideramos el sistema cuya función de
transferencia se obtiene mediante

Este sistema serepresenta en el espacio
de
estado
mediante
la
ecuaciones
siguientes

jlc

La transformación de Laplace de las
anteriores se obtienen mediante t≠0

ecuaciones

Dado que la FT se definió antes como el cociente
entre la transformada de Laplace de la salida y la
transformada de Laplace de la entrada, cuando las
condiciones iníciales son 0, suponemos que x(0) es
cero. Por tanto tenemos

jlc

Buscamosdespejar X(s) de la ecuación de
estado y reemplazarla en la ecuación de
salida
mediante
el
siguiente
procedimiento:
;

𝕀 Matriz identidad de orden nxn

Aplicando propiedades de matrices M-1M=𝕀

Reemplazando esta ecuación, en la ecuación
de salida

jlc

Sacando factor común U(s), obtenemos
finalmente la relación para la FT

Φ(s) la matriz de
transición de estados

Esta ecuación sigue siendo válidapara
los sistemas MIMO, con la salvedad que
en ese caso obtendríamos una matriz G(s)
de FT’s de qxp donde cada elemento
Gij(s) de dicha matriz corresponde a la
FT desde la entrada j-ésima uj, a la
salida i-ésima yi.
jlc

jlc

Se tiene la representación en EEF
 Ra
L
a
X (t )  
 Kv Ka
 J


y ( t )  0


1
1

La  X (t )   .u(t )

L
 a
b

0

J 



1 
. X (t )
Kv 

Paraobtener la FT se aplica:

jlc

Tomando
 s 0
sI  

0 s 

 Ra

 s 0  La
[ sI  A]  


0 s   K v K a
 J

Ra
1 
s

La   
La
 
K K
b
   v a
J  
J



1 
La 

b
s
J 

Para una matriz P se puede obtener la
inversa mediante
 1 Adj P 
 P 

Det P 


siendo

T

Adj P  [cof P ]

jlc

T
Adj
[
sI

A
]
cof
[
sI

A
]
[ sI  A]1 

Det[ sI  A] Det[sI  A]



Reemplazando
b

s


cof [ sI  A ]   1J

 La



Kv Ka 
J 
Ra 

s
La 

b

s


J
T
cof [ sI  A]  
 Kv Ka
 J

1 
La 

Ra 
s
La 


Ahora calculamos el determinante

Ra   K v K a  1 
b 
  
Det[ sI  A]   s   s 
  
J 
La   J  La 


 b R  bR K K 
 bL  JRa  bRa K v K a
 s 
Det [ sI  A]   s 2    a  s  a v a   s 2   a

JLa 
JLa
 J La  JLa
 JLa  JLa

jlc

Ahora obtenemos la matriz de transición de
estados
b

s


J

 Kv Ka
 J
 ( s)  [ sI  A]1 
 bL  JRa
s 2   a
 JLa

1 
La 

Ra 
s
La 


 bRa K v K a
 s 

JL
JLa
a


Ya que se trata de un sistema LTI
estrictamente propio tenemos que D=0, por
tanto
b
1 

s



1
J
La   1 L 

 a

K
K
R
K v   va s  a   0 
 J
La 
G ( s )  C ( s ) B 
 bLa  JRa  bRa K v K a
2
 s 
s  

JLa
 JLa
 JLa

0


jlc

 Ka
Ra   1 L 
1 

s     a 
Ka


J
K
L
v 
a  
JLa

 0  
G( s) 
 bL  JRa  bRa K v K a
 bL  JRa  bRa K v K a
 s 
 s 
s 2   a

s 2   a

JL
JL
JL
JL
JL
JLa
a
a
a
a
a





Ka

G(s) 

JLa
 bL  JRa  bRa K v K a
 s 
s 2  a

JLa
JLa
JLa



Luego
de
las
operaciones
tenemos como resultado final:

algebraicas

Ka
G (s) 
JLa s 2  bLa  JRa s  bRa  K v K a 

jlc

jlc

Si conocen dos representaciones en
espacios de estado del mismo sistema,
con vectores de estado Xa(t) y Xb(t)
(Sistema A)

X a  Aa X a  Ba u(t )  (1)

y(t )  Ca X a  (2)

(Sistema B)

X b  Ab X b  Bb u(t )  (3)

y(t )  Cb X b  (4)jlc

Se tiene que X a  TX b , siendo “T” la
matriz de transformación lineal entre
Xa
los espacios de estados, donde X b  T 1 ,
como aparece en la siguiente figura:

jlc

Reemplazando
la
transformación
en la ecuación (1) se tiene que: X  TX
a

b

T X b  AaT X b  Ba u(t )
y ( t )  C aT X b

Para que el espacio de estados quede en
términos de X como se encuentra en la
b
expresión,...