S2 CURVAS NIVEL

Ingeniería Civil: Ciclo 2015-I

CURVAS DE NIVEL
Una manera muy práctica de visualizar la gráfica de una función de n variables es a través
de las curvas de nivel, para esto consideremos la función f : R 2  R tal que z  f ( x, y ) (n
= 2), cuya gráfica de esta función es una superficie de R 3 . Supongamos que la superficie
z  f ( x, y ) se corta mediante una familia de planos paralelos al planocoordenado xy que

son de la forma z  k (k  0, 1, 2,...,  n) cuyas intersecciones son curvas que al
proyectarlo sobre el plano xy, tiene por ecuación f ( x, y )  k , a esta curvas se le llaman
curvas de nivel de la función f en k y al conjunto de de curvas de nivel se llama mapeo
de contorno.
En forma similar para el caso f :

3

 , se obtienen f ( x, y, z )  k llamadas superficies

denivel.

APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL

Una vez elaborado el mapa topográfico con la representación gráfica del terreno por medio
de curvas de nivel, podemos utilizar el mismo de diferentes maneras en la planificación y
ejecución de obras civiles, usos agrícolas y pecuarios., ordenamiento territorial,
planificación etc.
Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de informaciónindispensable en
la planificación, ejecución y control de todo proyecto.
De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de
cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de
corte y relleno de material requerido en la ejecución de una obra y proyectar trazado de
vías, etc. A continuación presentamos gráficas de curvas de nivel.

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Figura 1 Mapa topográfico de Armenia

Figura 2

Figura 3

Ejemplo 1.- Sea f : R 2  R / z  f ( x, y )  x 2  y 2 , hallar las curvas de nivel y hacer la
gráfica de esta superficie.
Solución
Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z  k , es decir x 2  y 2  k que son familias
de circunferencias.

15

10

5

0
4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

2

Ingeniería Civil: Ciclo 2015-I

Ejemplo 2.- Sea f :

2



/ z  f ( x, y )  8  x 2  2 y. Hallar las curvas de nivel y hacer la

gráfica de esta superficie

15

Eje Z

10

5

0
4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

3

4

2

-3

-2

-1

0

1

-4

Eje Y
Eje X

Ejemplo 3.- Sea f :

2



/ z  ye x .Hallar las curvas de nivel y hacer la gráfica de esta

superficie.
SoluciónDeterminaremos las curvas de nivel, haciendo z  k .Podemos observar que se tiene una
familia de funciones exponenciales de la forma ye x  k , lo cual puede verse como
y  k e  x . Para este caso, el valor de k puede ser cualquier número real.

15

10

Eje z

5

0

-5

-10

-15
2

2
1.5

1.5
1

1
0.5

0.5
0

0
-0.5

-0.5
-1

-1
-1.5

-1.5
-2

Eje Y

-2
Eje X

3

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2

Ejemplo4.- Sea f :



/ z  x 2  y 2 .Hallar las curvas de nivel y hacer la gráfica de

esta superficie.
Solución
Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z  k .Podemos observar que si k  0 se
tiene una familia de hipérbolas de la forma x 2  y 2  k y para k  0 las rectas y  x y
y   x . Las gráficas de las curvas de nivel y la superficie se da a continuación.
Curvas de nivel
2
3

1.5

2

11
0.5
Eje Y

0
0
-1
-0.5

-2

-1

-3
2
1

-1.5

0
-2
-2

-1
-1.5

-1

-0.5

0
Eje X

0.5

1

1.5

2

-2

Eje Y

-2

0

-1

1

2

Eje X

80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
10
5
0
-5
-10
Eje Y

-10

-5

0

5

10

Eje X

4

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Es muy difícil imaginar una función f de tres variables mediante su gráfica, ya que se
localizaría en un espacio de cuatro direcciones. No obstante, esposible saber más de f
examinando sus superficies de nivel, las cuales son las superficies cuyas ecuaciones son
f ( x, y, z )  k , donde k es una constante. Si el punto ( x, y, z ) se desplaza por una

superficie de nivel, el valor de f ( x, y, z ) sigue estando fijo.

Ejemplo 5.- Determine las superficies de nivel de la función
f ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2

Solución
Las superficies de...