S5_Series De Fourier

Series de Fourier

¿Qué significa transformar del dominio del
tiempo al dominio de la frecuencia?
Partitura musical para una orquesta con una
gama de frecuencias diferentes que contribuyen
al sonido completo
– Contrabajos
– Flautas
La contribución de una señal de una frecuencia
determinada, con un peso asociado a la señal
completa.

Representaciones de Fourier
• Herramienta para transformacióndel dominio
del tiempo al dominio de la frecuencia (o
espectrales).
Propiedad de
tiempo

Periódica

No periódica

Continua

Serie de Fourier

Transformada de
Fourier

Discreta

Serie de Fourier en
tiempo discreto

Transformada de
Fourier en tiempo
discreto

¿Qué es una serie de Fourier?
• Representación de una función f(t) como una
serie de constantes multiplicadas por
funciones seno y/o cosenode diferentes
frecuencias.

Representaciones de la serie de Fourier
•Serie
  de Fourier Exponencial Compleja
f
• En donde son los coeficientes complejos de Fourier
y están dados por:
En dondedenota la integral sobre cualquier periodo y por lo
general se utilizan intervalos 0 hasta o hasta para la
integración.
Si k=0 se tiene lo cual indica que es igual al valor promedio
de f(t) sobre unperiodo. Cuando f(t) es real entonces

Serie de Fourier Exponencial Compleja
Los coeficientes ck son números complejos, y
también se pueden escribir en forma polar:
ck  ck e jk
*
k

c k c  ck e

Obviamente,
ck 

1
2

Donde
,
Para todo k0,

2
k

2
k

a b

 jk

bk
k arctan( )
ak

Para k=0, c0 es un número real:

c 0  12 a 0

Curso: Análisis de señales9y sistemas (semestre 2014 08)Representaciones de la serie de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) con periodo de
repetición T pueden expresarse por la siguiente
serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = (½) a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+...
+ b1sen(0t)+b2sen(20t)+...

Representaciones de la serie de Fourier
•Serie
  de Fourier trigonométrica
La forma compacta de escribir esta serie es:

Representaciones de la seriede Fourier
•Serie
  de Fourier trigonométrica
Sea f(t) una señal periódica con un periodo
fundamental To,
frecuencia angular fundamental
componente de corriente directa

Relación Serie Exponencial y Trigonométrica
de Fourier
•  

Si y son reales entonces
2Re[

c0  12 a0 , ck  12 (ak  jbk ), c k  12 (ak  jbk )

Serie de Fourier trigonométrica señal par
• Si
  una señal periódica f(t) es parentonces y su
serie de Fourier contiene únicamente los
términos coseno:
La integral para obtener se puede utilizar el
doble de la integral sobre la mitad del periodo.

Serie de Fourier trigonométrica señal impar
• Si
  f(t) es impar entonces , y su serie de Fourier
contiene únicamente los términos seno:
• Los valores de se pueden obtener integrando
el doble de la integral en la mitad delperiodo.
•

Componentes de una señal: SFT
•  

 

DC
Las series trigonométrica
yACexponencial de
Fourier nos proporcionan el contenido de AC y/o
DC de las señales que analizamos con ellas.

Serie de Fourier en forma armónica
La
• serie de trigonométrica de Fourier también se puede escribir como:

 

Donde
y



f (t ) C0   Ck  cos(k0t   k )
k 1

Ck  cos(k0t   k )
Es la k-ésima componentearmónica de f(t). La primer armónica se conoce
como componente fundamental.
son las amplitudes de las armónicas
son los ángulos de fase de las armónicas
C0 es el componente de DC

Ejemplo del cálculo de los coeficientes de las STF

Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la
siguiente función de periodo T:
1
...

/2

-T

f(t)

/2

0

T

T ...

t

-1

Solución: La expresión para f(t) en–T/2   1 para  T2  t  0
f ( t ) 
T
1
para
0

t


2
18

Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier (5)

Coeficientes ak:

T /2

ak  T2

f (t ) cos(k t )dt
0

 T /2

0
T /2


2
 T   cos(k0t )dt  cos(k0t )dt 
0
 T / 2


0
T /2
 1

1
 
sen( k0t )

sen( k0t ) 
k0
 T /2
0 
 k0
2
T

0

para k 0

19

Cálculo de los coeficientes de la Serie de...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.