saber
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de lasque se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuacionesen derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ecuaciones diferenciales exactas (EDE)
Ejemplo
Dada la siguiente ecuación diferencial: (3x2+ 6xy2) dx +(6x2y + 4y3)dy = 0Pasos:1. Identificar las funciones M y N Mdx + Ndy = 0 (forma general de una EDE)M = 3x2+ 6xy2; N = 6x2y + 4y32.Verificar que es exacta x N yM ∂∂=∂∂( )( ) xy x y y x xy y xyx124612633222=∂+∂=∂+∂son iguales, esto significa que es una EDE3.U(x,y) = C Es la expresión a la que se quiere llegar 4. Identificar M y N las derivadas parciales respectivasM = xU ∂∂;N = yU ∂∂5.Se plantea U yse busca su función( ) ( )∫ ∫ Ψ+=Ψ+ ∂∂= yMdxydxxU U Entonces queda( )( ) ( ) y y x xydxxyxU
Ψ++=Ψ++=
∫ 22322
3636.Se halla la derivada parcial de U con respecto a y
( )( ) y x y yy xxyU '632223Ψ+=∂Ψ++∂ =∂∂7.Se iguala la función N con la función hallada en el paso 6, para encontrar el valor deΨ ’(y) N = yU ∂∂6x2y + 4y3= 6x2+Ψ’(y)lo cual daΨ’(y) = 4y38.Se integraΨ ’(y)( ) ( )kydyydy y y
+==Ψ=Ψ
∫ ∫ 434'9.Se utiliza el paso 3 para hallar la soluciónDado que U(x, y) = C, y para este problema U = x3+ 3x2y2+ y4+ k, se igualan las dos expresiones.Así, x3+ 3x2y2+ y4+ k = C1. Sedespeja k y se escribe C = C1– k, por lo que la solución será x3+3x2y2+ y4= C, una solución implícita.
Definición de ecuación diferencial exacta
Se dice que una expresión diferencial
es unadiferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y) una ecuación
se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una...
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