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TEOREMAS Y POSTULADOS DE GOEMETRIA ANALÍTICA.


POSTULADO 1.- (de la distancia) la distancia es un número positivo único asociada a cada punto.

POSTULADO 2.- (de la regla) podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales de tal manera que (1) a cada punto de la recta corresponde exactamente un número real; (2) a cada número real correspondeexactamente un punto de la recta; y (3) la distancia entre dos punto cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de los números correspondientes.

POSTULADO 3.- (dela colocación de la regla).

POSTULADO 4.- (de la recta) entre dos puntos cualesquiera existe una y solo una recta entre ellos.

TEOREMA 2.1.- (de la localización de puntos) sea AB (un rayo) y x un número positivo, existe unúnico punto P de AB tal que AP=x.

TEOREMA 2.2.- (del punto medio) todo segmento tiene exactamente un punto medio.

RECTAS PLANOS Y SEPARACIONES.

ESPACIO (definición).- El conjunto de todos los puntos se llama espacio.

PUNTOS ALINEADOS O COLINEALES (definición).- Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que los contiene a todos.

PUNTOS COPLANARES(definición).- Los puntos de un conjunto son coplanarios si hay un plano que los contiene a todos.

POSTULADO 5.- (a) todo plano contiene tres puntos que no están alineados; (b) el espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.

TEOREMA 3.1.- Si dos rectas diferentes se intersecan su intersección contiene un punto solamente.

POSTULADO 6.- Si dos punto de una recta están en unplano, entonces la recta está en el mismo plano.

TEOREMA 3.2.- Si una recta interseca a un plano que no la tiene, entonces la intersección contiene solo a un solo punto.

POSTULADO 7.- (del plano) tres puntos cualesquiera están al menos en un plano y tres puntos cualesquiera no alineados están exactamente en un plano. Mas brevemente, tres puntos cualesquiera son coplanarios y tres puntoscualesquiera no alineados determinan un plano.

TEOREMA 3.3.- Dada la recta y un punto fuera de ella, existe únicamente un plano que contiene a ambos.

TEOREMA 3.4.- Dadas dos rectas que se intersecan, existe únicamente un plano que las contiene.

POSTULADO 8.- Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección en una recta.


CUNJUNTOS CONVEXOS.


DEFINICIÓN.- Un conjunto A se llamaconvexo, si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo segmento PQ está en A.

POSTULADO 9.- (de separación del plano) se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos tales que (1) cada uno de los conjuntos es convexo, (2) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento PQ interseca a la recta.POSTULADO 10.- (Separación de espacio) los puntos del espacio que no están en un plano forman dos conjuntos tales que (1) cada uno de los conjuntos es convexo, (2) si P esta en uno de los conjuntos y Q esta en el otro, entonces el segmento PQ interseca al plano.

ANGULOS Y TRIANGULOS.


ANGULO (definición).- Son dos radios que tienen el mismo origen o extremo pero no están en la misma recta.TRIANGULO (definición).- Tres puntos coplanarios no alineados, entonces el triángulo es la reunión de los tres puntos y los tres segmentos que unen a los tres puntos.

INTERIOR DE UN TRIANGULO.- Sea el ángulo BAC un ángulo en un plano E. Un punto P está en el interior del ángulo BAC si (1) P y B están de la misma recta del plano AC, (2) P y C están en el mismo lado de la recta AB. El exterior deángulo BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no están en el ángulo y que tampoco están en su interior.

INTERIOR DE UN TRIANGULO.- Un punto está en el interior de un triángulo si está en el interior de cada una de los ángulos del triangulo.

EXTERIOR DE UN TRIANGULO.- Un punto está en el exterior de un triángulo si está en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo o en...