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Axioma fundamental
Existe un conjunto que se denota por que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.
Axiomas Algebraicos
Los axiomas algebraicos,pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.
Axiomas de la adición
1) Para todo, existe un único elemento, también en,denotado por que llamamos la suma de e.
2) para todo.
3) para todo.
4) Existe un elemento de, denotado por tal que para todo5 Para cada existe un tal que.
Axiomas de la multiplicación
1) Para todo,existe un único elemento, también en, denotado por que llamaremos el producto de e .
2) para todo.
3) para todo.
4) Existe un elemento de, que denotaremos por tal que
5) Para cada tal que nosea cero, existe un tal que.

Axioma de distribución (Este axioma conecta la suma con la multiplicación)
1) Para todo.
Axiomas de orden
Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad"(véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste,es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.
Se dirá que o sólo si es menor que. O dicho de otra forma, si es mayor que.
De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto talque si y sólo si.

Axiomas de orden
Si, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:

1)
2) Si y además, entonces.
3) Si, entonces para todo
4) Si y, entonces.Elemento identidad
Suma: a + 0 = 0 + a = a
Producto: a . 1 = 1 . a = a
Elemento inverso
Suma: a + (–a) = –a + a = 0
Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a¹0
Ley Asociativa
Suma: a + (b + c) =(a + b) + c
Producto: a . (b . c) = (a . b) . c
Ley Conmutativa
Suma: a + b = b + a
Producto: a . b = b . a
Ley Distributiva
Producto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac