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Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

1.1 Problemas PAU

Junio 94:
Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.
a) Plantear un sistema paraaveriguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
b) Resolver el problema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de excursión, tendremos:
; ordenamos:
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:M = Ma =
Como  r(M) = r(Ma) = 3  S.C.D.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
; ;
; ;
Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.


Septiembre 94:
Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacódos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas.
b) Resolver el sistema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:
, ordenamos:
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema,escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:
M = Ma =
 r(M) = r(Ma) = 3  S.C.D.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
; ;
; ;
Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.


Septiembre 94 (bis):
Sea lamatriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes:
A = B =
a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.
b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.
Solución:
Apartado a:
El sistema expresado en forma matricial, será:
Efectuando el producto de matrices, y aplicandola definición de igualdad de dos matrices, obtendremos el sistema pedido: .
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:
M = Ma =
Analizamos los valores críticos haciendo |M| = 0
   ;
• Si y
|M|  0 → r(M) = r(Ma) = 2 → S.C.D. (solución única).
• Si
M= Ma =
|M| = 0 → r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: . Por tanto, S.I. (No soluciones).
• Si
M = Ma =
|M| = 0 → r(M) = 1 y r(Ma) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementario de orden 2 y distinto de cero. Por tanto, S.C.I. (Infinitassoluciones).


Junio 95:
Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma, 9 kg. Además, compró 1 kg. mas de naranjas que de manzanas.
a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.
b) Resolverel problema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, al número de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos:
simplificamos:
Apartado b)
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:
M = Ma =
Como  r(M) = r(Ma) = 3  S.C.D.
Resolvemos...