Saenz J Calculo diferencial 2da ed

CALCULO
DIFERENCIAL
CON
FUNCIONES TRASCENDENTES TEMPRANAS

PARA

CIENCIAS E INGENIERIA
SEGUNDA EDICION

Jorge Sáenz
Universidad Centroccidental
Lisandro Alvarado

I HIPOTENUSA I
Barquisimeto
2005

Cálculo Diferencial para cienctea e Ingeniería
© Jorge Saenz
Depósito Legal: lf83720045102 5 9 2
ISBN.: 9 60-6566-0 4- 5
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rra pr -es tén 2005

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La presente edición y sus característícas gráflca..9, son propiedad ex clusiva de

Invers ora Hipotenusa,quedand o prohibida su reproducción par cial o tota l sin la
autortzact ón del editor.
Impres o en Vene zuela

- Prlnted in Venezuela

vii

PROLOGO
Esta segun da edición aparece diez años después que se publicó la primera. Es
muy gratificante la acogida que ha tenido la primera edición .
En esta segunda edición, al igual que en la anterior, se ha buscado equ ilibrar la

teoría y la práctica. Lateoria es acompañada de numerosos ejemplos. Cada sección
pres enta una sección de problemas resueltos, donde muchos problemas típicos de
relevancia son desarrollados con todo detalle. La gran mayoría de teoremas son

presentados con sus respectivas demostraciones. Cuando la demostración es

compleja. ésta es presentada como un problema resuelto.
La gran novedad de esta segunda edición es laincorporación en el texto de las
funciones exponenciales, logarinni cas e hiperb ólicas (funcio nes trascendentes). Este
hecho nos traerá dos ventajas muy significativas. En primer lugar, nos pennirirá
tratar temp ranamente temas importantes como la regla de L'H ópital y la derivación

logarítmicas. ESIOS temas corre spondían a cursos posteriores. En segundo lugar, los

ejemplos y aplicaciones serán másinteresantes y másvariados.
Para la graficación de funciones y para cálculos auxiliares hemo s hecho uso
extensivo de los paquetes compu tacionales Derive y Graphmatica, Se Rec omienda

el estud iante el uso de estos o cualquier otros sistemas algebraicos de computación.
lI e recibido valiosa ayuda y sugerencias de parte de muchos colegas. Entre
estos tenemos a Maribel Perdomo, José Luis Linares,María Torralba, Wol gfang
Hernández, Alexand er P érez, En forma muy especial hago testimonio de mi gratitud
al Jng. Alexis S alced o ya l a e stud iante d e matemá ticas. Br. Lucybeth Guti érrez,

quienes tuvieron la tarea de revisar todo el texto.

Jorge Sáenz Camac ho
Barquisimeto, setiembre 2.005

iii

CONTENIDO
1

FUNCIONES REALES
Rellé Descartes
Introducción

l.l Funciones Reales y susGráficas

1
2
3
4

1.2 Nuevas funciones de funciones conocidas

20

1.3 Funciones Inversas

31

1.4 Funciones Trigonométricas Inversas

35

1.5 Funciones exponenciales

40

1.6 Funciones logarltmicas

47

1.7 Aplicaciones de las funciones exponenciales
y logarltmicas

53

Brevehistoria de las ecuaciones de tercery
cuartogrado

2 LIMITES Y CONTINUIDAD
LeanardoEuler
2.1 Inlroducción Inluiliva a losLímites
2.2 Tratamienlo Riguroso de los Límites

62

63
64
65
81

2.3 Limites Trigonomélricos

101

2.4 Continuidad

108

2.5 Límites Infinilos y Aslnlolas Vertleales

122

2.6 Limites en el Infinilos y Asíntotas Horizonlales

134

2.7 Los Limites y el Numero e

150

2.8 Asinlotas Oblicuas

153

Brevehistoria de 7t

160

iv

3

DlFERENCIACION

Isaaclvewton

181
182

3.1 La Deriv ada

183

3.2 T écnicas B ásicas de Derivación

196

3.3 Beri\'ad.ls de las Funciones Trigonométricas

210

3.4 Derivadas de las Funciones Exponenciales y
Logarítmicas

3.5 La Regla de la Cadena

4

OTRAS TECNICAS DE DERIVACION

213

216

205

Gottfried Wilheld Leibniz

206

4.1 Derivación Implícita y Teorema de la
Función Inversa

207

4.2 Derivación Logaritmíca

221

4.3 Derivadas de las Funciones de las...