Salario Minimo

2.6. FUNCION DEFINIDA POR MÁS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA, FUNCION VALOR ABSOLUTO

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 
En esta condición, de ser siemprepositiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (losvalores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 
4. Representamos la función resultante.

2.7. Operaciones con funciones: adicción, multiplicación, composición.

Composición de Funciones.

Sidos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que losvalores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos para discusión:

1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.

(f + g)(x) = x2+x-1 Df: R
(f – g)(x)= x2 –x + 1 Df: R
(f * g)(x) = x3 – x2Df: R
(f/g)(x) = x2/(x-1) Df: R excepto x = 1


Composición de Funciones

| Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea unaparte de él, es decir (Ver fig. 13.).El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier xA mediante f, y luego obtener la imagen de f(x)B mediante g |
fig. 13. |
|

 
Definición.
Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:
g o f :

Asi por ejemplo si fy g son las funciones definidas por:
y
Entonces

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g o f)(x)  (f o g)(x).
Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.
Esto es, D(f) =
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores dex para los cuales:
; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )
Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.
Es decir, D(g) = [0, + ).
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta enparticular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:
D(f o g) = [0, + ).
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.
Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:
P(x) = (g o f)(x) siendo y
P(x) = (g o f)(x) siendo y
En efecto, en el primer caso, y, en el...