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A. MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE VALOR SUPERIOR.
a. Trayectoria de un proyectil: se estudiará la forma de una trayectoria de un proyectil, despreciando la resistencia del aire. Para ello consideremos un proyectil de peso lanzado con un ángulo sobre el plano vertical.
El proyectil tiende a elevarse, debido a la velocidad inicia, pero a causa de la gravedad, la trayectoria se curvahacia el suelo, ubicando en el punto , según la figura, al cabo del tiempo t después del lanzamiento, y sean y las coordenadas de ese punto.
Como la única fuerza aplicada al proyectil es la gravedad, proyectaremos éste sobre los dos ejes aplicando la segunda Ley de Newton:

Para el eje horizontal:

Al integrar obtenemos:

Parade donde:

Al reemplazar en 1, obtenemos:


Para el ejevertical


El signo negativo, se debe a que la fuerza actúa en sentido contrario al eje positivo de .
Como:

Al integrar obtenemos:

Parade donde:

Al reemplazar en 3, obtenemos:

Al integrar, obtenemos:

Parade donde:

Al reemplazar en 4, obtenemos:

Reemplazamos en la ecuación 5 la ecuación 1:


Reemplazamos

La cual representa una parábola al eje

b. Problema del resortevertical: Se hallará la ecuación del movimiento del peso, el cual es atraído por un punto fijo, y cuando este peso se coloque en , debajo del punto , seráproporcional a la distancia, la tracción de sobre el peso es igual y opuesta al peso .
Suponiendo que se abandone en el punto. Llamaremos a la distancia del peso al origen , en un instante cualquier, entonces obtenemos:
Además la fuerza enes de la forma , dirigida en sentido opuesto al peso, siendo la ecuación fundamental:


Por otra parte, en el puntotenemos:


Reemplazamos 2 en 1:


Ecuación de segundo orden, cuya solución es:


Para , así como se tiene y , de donde:

Por lo tanto el movimiento es sinusoidal y el peso oscila de y , el periodo es:

Si y reemplazando en la ecuación 1, obtenemos:

De donde lavelocidad es:


c. Movimiento de un punto atraído o repelido por un centro fijo , proporcionalmente a la distancia:
Tenemos dos casos:
i. 1° casoAtracción:Seala posición normal de la abscisa , la velocidad inicial dirigida hacia el punto y llamaremos a la masa del cuerpo.
La fuerza que actua sobre el cuerpo es:

El signo negativo se debe a que la fuerzaactúa en sentido inverso a
Lafórmula fundamental del movimiento es:


Haciendo:

Es una ecuación de segundo orden y cuya solución es:

Es un sinusoidal.
Para calcularhacemos:se tiene
Además:

Para calcularhacemos:se tiene
De donde se tiene:


Donde es un periodo:

Siendo independiente de las condiciones iniciales.
La frecuencia es se tiene un movimiento periódico sinusoidal, es decir, el más sencillo de todoslos movimientos periódicos, se llama también movimiento pendular o movimiento armónico.
La cantidad se denomina elongación o amplitud instantánea de la vibración, es la amplitud de la fase.
Si en un fenómeno vibratorio, la amplitud instantánea viene dado por: la velocidad es: y la aceleración:
La fuerza que produce el movimiento o fuerza resultante es:

Resultando proporcional al cuadradode la frecuencia.
ii. 2° caso: Repulsión: Siendo la fuerza:

La ecuación del movimiento es:


Haciendo:

Es una ecuación de segundo orden y cuya solución es:

Para calcularhacemos:


Además:

Para calcularhacemos:



Reemplazamos en 1:



Reemplazamos 2 en 1:



De donde se tiene:




d. Sólido girando alrededor de un eje: sea el momento de inercia con relación a uneje y la aceleración angular entonces la fórmula fundamental delos cuerpos que giran alrededor de un eje es:

Sea el ángulo de desviación de la posición de equilibrio y el momento resultante de las fuerzas aplicadas. Suponiendo el momento proporcional al ángulo Como este momento actúa en sentido inverso al del ángulo, es negativo, de donde la ecuación es:

Al resolver la ecuación se...