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Funciones lineales
Antes de empezar

Investiga
Si una sandía pesa 3kg y otra pesa 6kg nos cobrarán el doble por la segunda. Pero, si la primera tiene un diámetro de 15 cm y la otra lo tiene de 30 cm, ¿el precio de la segunda será el doble que el de la primera? Intenta encontrar la respuesta y dar una explicación razonada a la misma.

MATEMÁTICAS 3º ESO

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Funciones lineales
1.Función de proporcionalidad directa
Definición
Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma

y = mx

ó

f(x) = mx

El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque, como veremos en la siguientesección, indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente.
Recuerda: dos magnitudes directamente proporcionales si cociente es constante. son su

Representación gráfica
Como has visto, las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y=mx, si x=0 entonces y=0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0). Paradibujar la gráfica basta con obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x e unir ese punto con el origen de coordenadas (0,0). Si x=1, entonces y=m, por tanto m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad quebaja.

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Funciones lineales

EJERCICIOS resueltos
1. Determina si las relaciones entre las parejas de magnitudes siguientes son lineales o no, escribiendo para ello la ecuación que las relaciona. a. Relación entre el precio inicial y el precio rebajado con un 10%. b. Relación entre el peso y el volumen de un material en condiciones constantes de presión ytemperatura. c. Un banco ofrece un depósito anual al 5% con una comisión fija de 20€. Relación entre la cantidad invertida y los intereses recibidos. d. Relación entre el área de un cuadrado y la longitud de su lado.

Solución: a) Si el descuento es 10% pago el 90%: PRebajado = 0’9 · PInicial (SÍ es lineal) b) La relación entre peso (P) y volumen (V) es la densidad (d), que es constante si no cambian lascondiciones de presión y temperatura: P = d·V (SÍ es lineal) c) Si C es la cantidad invertida e I son los intereses I = 0’05 · C – 20 (NO es lineal, pero casi lo es. En realidad es una función afín que veremos en el siguiente capítulo) d) A = long2 (NO es lineal)

2.

Determina las ecuaciones de las funciones lineales cuyas gráficas son:

a.
Buscamos un punto de coordenadas enteras (no esestrictamente necesario pero es más cómodo si es posible). a = 2, b = 7. La pendiente es m=7/2 y la ecuación es y =

7 x 2

b.
En este caso a = 5 y b = -4 (le asignamos un valor negativo porque la recta es decreciente). La pendiente es, pues, m = -4/5 y la ecuación y = −

4 x 5

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2. Función afín
Definición
Si a dos magnitudes directamenteproporcionales se les aplica alguna condición inicial, la función que las liga ya no es totalmente lineal (las magnitudes ya no son proporcionales). Se dice que es una función afín y su forma es: La pendiente, m, sigue siendo la constante de proporcionalidad y el término n se denomina ordenada en el origen porque es el valor que toma y (ordenada) cuando x vale 0 (abscisa en el origen).

y = mx +n

ó

f(x) = mx + n

Recuerda: Ahora el cociente entre f(x) y x no es constante.

Representación gráfica
Las funciones afines se representan también mediante líneas rectas, pues el término independiente que las diferencia de las funciones de proporcionalidad solo produce una traslación hacia arriba o hacia abajo de la gráfica de éstas. Para dibujar la gráfica necesitamos obtener dos...