sam ondas

Universidad del Cauca
Taller No 2. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n:
Edwin Chamorro
1. Las funciones f1 = e x cos 2x, f2 = e x sin 2x son soluciones de una ecuación diferencial
linealhomogénea de segundo orden. ¿forman un sistema fundamental de ella?.
2. Muestre que y = C1 x2 + C2 x4 + 3 es una família de soluciones de la ecuación diferencial
x2 y 00 5xy 0 + 8y = 24 en ( 1; 1)y halle un miembro de la familia que satisfaga
y(1) + y 0 (1) =

y

4

y(2) + y 0 (2) = 19

3. Hallar la ecuación diferencial homogénea de coe…cientes constantes de menor orden para que
lasfunciones f1 = ex , f2 = xex y f3 = e2x forman el sistema fundamental de soluciones.
4. Sea y1 (x) = sin x una solución particular de la ecuación diferencial y 00 + a(x)y 0 + b(x)y =
f (x) y sean y2(x) = ex , y3 (x) = e3x soluciones de la homogénea asociada. Se pide:
(a) Solución general de la ecuación completa.
(b) Determinar a(x) y b(x).
5. Suponga que y1 y y2 son soluciones linealmenteindependientes de la ecuación diferencial
y 00 + py 0 + qy = 0 en un intervalo I; y sea W [y1 ; y2 ] (x) el Wronskiano de y1 y y2 :
(a) Demuestre que

dW
dx

+ p(x)W = 0

(b) Demuestre laidentidad de Abel: W (x) = ce

R

p(x)dx

para alguna constante c 6= 0:

6. Use la identidad de Abel para determinar (salvo un múltiplo constante) el Wronskiano de
dos soluciones en (0; 1) de xy00 (x 1) y 0 + 3y = 0: Sol. W (x) = cx 1 ex :
7. Veri…que que la función y1 indicada es solución de la ecuación diferencial dada y determine
su solución general
(a) (x2

1)y 00

2xy 0 + 2y = 0;(b) x2 y 00 + xy 0 + x2

1
4

y1 = x:

y = 0;

y1 =

cos x
p :
x

Sol. y = x2 + 1
Sol. y =

1
p
x

(C1 cos x + C2 sin x) :

R

8. Muestre que la sustitución y = ue p(x)dx, transforma la ecuación diferencial y 00 + p(x)y 0 +
q(x)y = 0 en una ecuación de la forma
u00

pu0 + (q

p0 )u = 0:

9. En los dos ejercicios siguientes use el ejercicio 8 para resolver la...