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Método numérico


Teoría de los errores


Uno de los criterios más importantes para seleccionar, cuál de los métodos de solución de un problema dado es el óptimo, es la precisión que arroja los cálculos de este, ya sea hecho a mano o por computadora.

Una pregunta obligada es: ¿Por qué nos conciernen los errores en el estudio de los métodos numéricos?
Existen muchas razones paraestudiarlos, primero porque el manejo de datos proviene de observaciones mediciones, estos pueden contener errores llamados inherentes, los cuales son debidos a falta de eficiencia en los cálculos o errores en las mediciones. Otra razón se debe a que el modelo matemático usado para generar los datos es solo una aproximación al sistema que representa. Una razón más es que los métodos numéricos sonmuchas veces utilizados para aproximar una solución a problemas que no pueden ser resueltos por los métodos analíticos exactos.
Finalmente, se cometen errores durante los cálculos, como los son los errores por redondeo y errores por truncamiento. Todos estos errores deben de tomarse en cuenta durante las operaciones.
En general, los resultados de las medidas nunca se corresponden con losvalores reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos, es decir, están afectados de error.
Las causas que motivan tales desviaciones pueden ser debidas al observador, al aparato o incluso a las propias características del proceso de medida.


Punto Flotante

Muchas aplicaciones requieren trabajar con números que no son enteros. Existen varias formas derepresentar números no enteros. Una de ellas es usando un punto o coma fijo. Este tipo de representación ubica siempre el punto o coma en alguna posición a la derecha del dígito menos significativo.

Por ejemplo el número 10.75 puede ser expresado: 10.75 x 10 0 1.075 x 10 1

¿Qué se necesita para representar un número en punto flotante?
el signo del número.
elsigno del exponente.
Dígitos para el exponente.
Dígitos para la mantisa.

Un número cualquiera expresado como N=abe es llamado de punto flotante y en el cual se tienen los siguientes elementos:





Por lo anterior, los siguientes son ejemplos de números de punto flotante:

N=315.423 x108 N=-32.49x10-12 N=45.45x812N=2000 N=2x103 N=20x2 N=200x100 N=0.2x104

Dado que un número en punto flotante puede expresarse de distintas formas que son equivalentes, es necesario establecer una única representación. Es por ello que se trabaja con números normalizados














Notación científica normalizada
En el sistema decimal, cualquier númeroreal puede expresarse mediante la denominada notación científica normalizada. Para expresar un número en notación científica normalizada multiplicamos o dividimos por 10 tantas veces como sea necesario para que todos los dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal y de modo que el primer dígito después del punto no sea cero. Por ejemplo: 



Así, un número es llamado de punto flotantenormalizado si cumple con:




Medidas, resultados y errores

Los resultados de las medidas nunca se corresponden con los valores reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos, es decir, están afectados de error. Las causas que motivan tales desviaciones pueden ser debidas al observador, al aparato o incluso a las propias características del proceso demedida. Un ejemplo de error debido al observador es el llamado error de paralaje que se presenta cuando la medida se efectúa mediante la lectura sobre una escala graduada. La situación del observador respecto de dicha escala influye en la posición de la aguja indicadora según sea vista por el observador. Por ello para evitar este tipo de error es preciso situarse en línea con la aguja, pero...