santillana_max_y_min_solucions
Páginas: 6 (1306 palabras)
Publicado: 24 de noviembre de 2015
Máximo común divisor
y mínimo común múltiplo
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
• El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes.
• Para hallar el máximo común divisor
de dos o más números, por ejemplo,
m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos:
12
6
3
1
2
2
3
18
9
3
1
2
3
3
1.° Se descompone cada número
en producto de factores primos.
2.° El producto de estosfactores
comunes elevados al menor
exponente es el máximo común
divisor de los números dados.
1
12 = 22x 3
18 = 2 x 32
m.c.d. (12, 18) = 2 x 3 = 6
Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.
40 y 60
35 y 48
70 y 62
m.c.d. (40, 60) = 2 · 5 = 20
m.c.d. (35, 48) = 1
m.c.d. (70, 62) = 2
100 y 150
225 y 300
415 y 520
m.c.d. (100, 150) =
= 2 · 52 = 50
m.c.d. (225, 300) == 52 · 3 = 75
m.c.d. (415, 520) = 5
40
60
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2
Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.
280 y 840
315 y 945
m.c.d. (280, 840) = 23 · 5 · 7
m.c.d. (315, 945) = 32 · 5 · 7
• ¿Es 840 múltiplo de 280? Si
• ¿Es 945 múltiplo de 315? Si
• ¿Cuál es el m.c.d. (280, 840)? 280
• ¿Cuál es el m.c.d. (315, 945)? 315
• Engeneral, si a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.d. (a, b)?
m.c.d. (a, b) = b
3
Halla el máximo común divisor de las siguientes series de números.
• 180, 252 y 594
m.c.d. (180, 252, 594) = 32 · 2 = 18
• 924, 1.000 y 1.250
m.c.d. (924, 1.000, 1.250) = 2
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menormúltiplo
común distinto de cero.
• Para hallar el mínimo común múltiplo de
dos o más números, por ejemplo,
m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos:
30
15
5
1
2
3
5
45
15
5
1
3
3
5
1.° Se descompone cada número en
producto de factores primos.
2.° El producto de estos factores
comunes elevados al mayor
exponente y de los no comunes
es el mínimo común múltiplo
de los números dados.
1
30 = 2 x 3 x5
45 = 32x 5
m.c.m. (30, 45) = 2 x 3 2x 5 = 90
Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.
32 y 68
52 y 76
84 y 95
m.c.m. (32 y 68 ) =
= 25 · 17 = 544
m.c.m. (52 y 76 ) =
= 22 · 13 · 19 = 988
m.c.m. (84 y 95 ) =
22 · 3 · 7 · 5 · 19 = 7980
105 y 210
380 y 420
590 y 711
m.c.m. (105 y 210) =
5 · 3 · 7 · 2 = 210
m.c.m. (380 y 420 ) =
22 · 5 · 3 · 7 · 19 = 7980
m.c.m.(590 y 711 ) =
2 · 32 · 5 · 59 · 79 = 419490
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2
Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.
320 y 640
420 y 1.260
m.c.m. (320, 640) = 26 · 5
m.c.m. (420, 1.260) =
• ¿Es 640 múltiplo de 320? Si
• ¿Es 1.260 múltiplo de 420? Si
• ¿Cuál es el m.c.m. (320, 640)? 640
• ¿Cuál es el m.c.m. (420, 1.260)? 1260
• En general,si a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.m. (a, b)?
m.c.m. (a, b) = a
3
Halla el mínimo común múltiplo de las siguientes series de números.
• 140, 325 y 490
m.c.m. (140, 325, 490) = 22 · 52 · 72 · 13 = 63700
• 725, 980 y 1.400
m.c.m. (725, 980, 1.400) = 23 · 52 · 72 · 29 = 284.200
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PROBLEMAS DE M.C.D. y M.C.M.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. El ebanistaahorrador
Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de
ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?
SOLUCIÓN
a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además
debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcularel m.c.d. (256, 96).
256 = 28
96 = 25x 3
m.c.d. (256, 96) = 2 5= 32
La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm.
b) Área de la plancha de madera
Área de uno de los cuadrados
2
256 x 96 = 24.576 cm
32 x 32 = 1.0242 cm
De la plancha de madera se obtienen 24.576 : 1.024 = 24 cuadrados.
2. Una cita en Sevilla
Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va...
y mínimo común múltiplo
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
• El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes.
• Para hallar el máximo común divisor
de dos o más números, por ejemplo,
m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos:
12
6
3
1
2
2
3
18
9
3
1
2
3
3
1.° Se descompone cada número
en producto de factores primos.
2.° El producto de estosfactores
comunes elevados al menor
exponente es el máximo común
divisor de los números dados.
1
12 = 22x 3
18 = 2 x 32
m.c.d. (12, 18) = 2 x 3 = 6
Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.
40 y 60
35 y 48
70 y 62
m.c.d. (40, 60) = 2 · 5 = 20
m.c.d. (35, 48) = 1
m.c.d. (70, 62) = 2
100 y 150
225 y 300
415 y 520
m.c.d. (100, 150) =
= 2 · 52 = 50
m.c.d. (225, 300) == 52 · 3 = 75
m.c.d. (415, 520) = 5
40
60
2
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2
Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.
280 y 840
315 y 945
m.c.d. (280, 840) = 23 · 5 · 7
m.c.d. (315, 945) = 32 · 5 · 7
• ¿Es 840 múltiplo de 280? Si
• ¿Es 945 múltiplo de 315? Si
• ¿Cuál es el m.c.d. (280, 840)? 280
• ¿Cuál es el m.c.d. (315, 945)? 315
• Engeneral, si a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.d. (a, b)?
m.c.d. (a, b) = b
3
Halla el máximo común divisor de las siguientes series de números.
• 180, 252 y 594
m.c.d. (180, 252, 594) = 32 · 2 = 18
• 924, 1.000 y 1.250
m.c.d. (924, 1.000, 1.250) = 2
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menormúltiplo
común distinto de cero.
• Para hallar el mínimo común múltiplo de
dos o más números, por ejemplo,
m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos:
30
15
5
1
2
3
5
45
15
5
1
3
3
5
1.° Se descompone cada número en
producto de factores primos.
2.° El producto de estos factores
comunes elevados al mayor
exponente y de los no comunes
es el mínimo común múltiplo
de los números dados.
1
30 = 2 x 3 x5
45 = 32x 5
m.c.m. (30, 45) = 2 x 3 2x 5 = 90
Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.
32 y 68
52 y 76
84 y 95
m.c.m. (32 y 68 ) =
= 25 · 17 = 544
m.c.m. (52 y 76 ) =
= 22 · 13 · 19 = 988
m.c.m. (84 y 95 ) =
22 · 3 · 7 · 5 · 19 = 7980
105 y 210
380 y 420
590 y 711
m.c.m. (105 y 210) =
5 · 3 · 7 · 2 = 210
m.c.m. (380 y 420 ) =
22 · 5 · 3 · 7 · 19 = 7980
m.c.m.(590 y 711 ) =
2 · 32 · 5 · 59 · 79 = 419490
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2
Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.
320 y 640
420 y 1.260
m.c.m. (320, 640) = 26 · 5
m.c.m. (420, 1.260) =
• ¿Es 640 múltiplo de 320? Si
• ¿Es 1.260 múltiplo de 420? Si
• ¿Cuál es el m.c.m. (320, 640)? 640
• ¿Cuál es el m.c.m. (420, 1.260)? 1260
• En general,si a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.m. (a, b)?
m.c.m. (a, b) = a
3
Halla el mínimo común múltiplo de las siguientes series de números.
• 140, 325 y 490
m.c.m. (140, 325, 490) = 22 · 52 · 72 · 13 = 63700
• 725, 980 y 1.400
m.c.m. (725, 980, 1.400) = 23 · 52 · 72 · 29 = 284.200
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PROBLEMAS DE M.C.D. y M.C.M.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. El ebanistaahorrador
Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de
ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?
SOLUCIÓN
a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además
debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcularel m.c.d. (256, 96).
256 = 28
96 = 25x 3
m.c.d. (256, 96) = 2 5= 32
La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm.
b) Área de la plancha de madera
Área de uno de los cuadrados
2
256 x 96 = 24.576 cm
32 x 32 = 1.0242 cm
De la plancha de madera se obtienen 24.576 : 1.024 = 24 cuadrados.
2. Una cita en Sevilla
Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va...
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