Sara

NOLAN JARA JARA
i,

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1.- Halla el dominio o campo de existencia de las funciones a) f ( x, y)  ln( x 2  y 2 ) D( f )  {( x, y)  R2 / f ( x, y)  ln( x 2  y 2 )  R} ln( x2  y 2 )  R  x2  y 2  0  ( x, y)  (0,0) D( f ) : ( x, y)  R 2 /( x, y)  (0,0) b) f ( x, y ) 

x2 x  y2
x2  R} x  y2

D( f )  {( x, y )  R 2 / f (x, y )  x2  R  x  y2  0 x  y2

D( f ) : R2  {( x, y)  R2 / x  y 2  0} Dom (f): puntos que no pertenecen a la parábola x  y 2  0
c) f ( x, y)  ln( y  x  1)

D( f )  {( x, y)  R2 / f ( x, y)  ln( y  x  1)  R}
ln( y  x  1)  R  ln( y  x  1)  0 ln( y  x  1)  0  ( y  x  1)  1  y  x D( f )  {( x, y)  R 2 / y  x}
d) f ( x, y, z )  e
1 x y  z 1 x y  zD( f )  {( x, y, z )  R / f ( x, y, z )  e
3

 R}

e R  x y z  0 D( f )  {( x, y, z )  R3 / x  y  z  0}

1 x y  z

 y4 ; si y  0  2.- Sea f ( x, y )   x 2  y 2 0; si y  0 
Calcula

f f y y estudia la diferenciabilidad de f en (0,1) y en (1,0). x y

f  2 xy 4  2 x x2  y 2 f f ( x  h, 0)  f ( x, 0) 00  lim  lim  Lim h0 0  0 Para y = 0 x h hh 0 h 0 Tenemos  2 xy 4 ; si y  0 2 f  2   x  y2  x  ; si y  0 0

Para y  0





1

NOLAN JARA JARA

De igual manera hallamos

f 2 y 5  4 x 2 y 3 f Para y  0  2 y y  x2  y 2 

Para y = 0

f f ( x, 0  h)  f ( x, 0) h4  lim  lim 2 0 2 y h h 0 h 0 x  h

 2 y5  4 x2 y3 ; si y  0 2 f  2    x  y2  y  ; si y  0 0 3.- Calcule lasderivadas parciales primeras de las funciones:
a) f ( x, y)  2arcsen( xy )  x y  ye derivando parcialmente la función se tiene:
2 3 y x

f 2y y2 x 3   2 xy  2 e x x 1  x2 y 2
y

y

f 2x y   3x 2 y 2  e x  e x 2 2 y x 1 x y

y

b) f ( x, y, z )  ( x  y)sen3 ( y  z 2 )  ln 2 ( x) f ln x  sen3 ( y  z 2 )  2 x x f  sen3 ( y  z 2 )  3( x  y )sen 2 ( y  z 2 )cos( y  z 2 ) y f  ( x  y )3sen2 ( y  z 2 ) cos( y  z 2 ).2 z  6 z ( x  y )sen 2 ( y  z 2 ) cos( y  z 2 ) z cos(u  v) c) f (u, v, w)  vw f  sen(u  v)  u vw w cos(u  v)  sen(u  v) vw  f 2 sen(u  v)vw  w cos(u  v) 2 vw    v vw 2vw vw f 2vsen(u  v)  cos(u  v)  v 2v vw f  cos(u  v)  w 2w vw

 t2  dt   4    0  t 1   (1,1)  a) Calcular Du g (0,0) , siendo u  . 2 Solución.    Du g ( x, y)  g ( x, y)u ....( i ) 
4.- Dada la función g ( x, y ) 

1

e

x y

x

2

NOLAN JARA JARA
   g ( x, y ) g ( x, y )   1 x  y x2 1 g ( x, y )   ,  e  , e x  y  …....( i i )  y     x x4  1    1 1 De donde g (0,0)   ,     2  1 1  2 2  De ( i ) y ( i i ) Du g (0,0)   , .  2 , 2       b) ¿En qué dirección es máxima la derivada direccional de g en el punto (0,0)? ¿Cuánto vale? La dirección en la cual la derivada direccional de g(0,0) es máxima será:   g (0, 0)  2 2  u    ,  g (0, 0)  2 2    El valor máximo de la derivada direccional de la función g(0,0) será:  2  Du g (0, 0) max  (0, 0) 



c) Hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica deg en el punto (0,1) y la diferencial de g en el punto (0,1). La ecuación del plano tangente Pt a la superficie S: z=g(x,y) está dado por:  g (0,1) g (0,1)  Pt :  , , 1   x, y, z    0,1, g (0,1)    0 x  x   g (0,1) g (0,1)  e e  Donde se tiene que el vector normal  , , 1   , , 1 es ortogonal x  x     e  al plano tangente Pt a la superficie S en el punto 0,1,  .   e  e e   Pt :  , , 1   x, y, z    0,1,    0       P : ex  ey   z  0 t g g dx  dy Ahora hallemos la diferencial: dg ( x, y)  x x 1 x2  1 dx  e x  y dy dg ( x, y )   e x  y    4  x 1   e e dg (0,1)  dx  dy





d) Calcular la pendiente de la recta que en el punto (0,1) es tangente a la curva C:  z  g ( x, y )  x  0...