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6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
 
Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que satisfagan las diversascondiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los valores de las incógnitas.
 
SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarsefácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.
 
Ejemplo 2
Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1.
 
SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y  y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son,respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:
 de donde  y 
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:
 de donde  y 
Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .
 
 
Ejemplo 3
Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dostérminos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
 
SOLUCIÓN: Sea x el numerador y  y el denominador. Entonces x/y = la fracción.
Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego: 
Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor deesta fracción es 1/3 ; luego: 
 
Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:


 
Quitando los denominadores:                
 
 
Trasponiendo y reduciendo:
                                                               
 
Restando:                                              
 
 
Ejemplo 3
Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes sonde $5 y cuántos de $2?
 
SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y  y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33.
 
Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.
 
Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema: 
Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15billetes de $2 y 18 billetes de $5.
 
Ecuaciones en N
Ecuaciones en el Conjunto de los Naturales
Es la relacion que cuando se efectúa la o las operaciones indicadas en el lado izquierdo del signo de la igualdad, resulta el número que esta a la derecha de dicho signo:
Ejemplo:
7 + 8 = 15
9 - 3 = 6
B) Igualdades Algebraicas o Literales:

Estas igualdades tienen una sub-clasificación:

    B.1) Identidades.

     B.2) Ecuaciones.


B.1)  Identidades: 

Son aquellas que para cualquier valor que se le asigne a la variable la igualdad numérica se cumple:

Ejemplo:
2X + X = 3X                   , X = 5
2.5 + 5 = 3.5
 10 + 5 = 3.5
        15= 15
B.2) Ecuaciones:

Es aquella igualdad que se cumple para ciertos valores de la incógnita o variable.

Ejemplo:
X + 2 = 8       Que solo se cumple la igualdad numérica; cuando X = 6.

Ejemplos de Ecuaciones:
A) X - 2 = 5          ;          B) 7 + Z = 10          ;          C) 2Y = 18

Como puedes observar; el signo Igual ( = ) divide a las ecuaciones dadas en dos partes: lado izquierdo del signo, denominado primer miembro y lado derecho denominado segundo miembro, las letras     (X, Y, Z) son las variables...