Satelite Simon Bolivar

República Bolivariana de Venezuela
Universidad de Carabobo
Facultad de ingeniería
Álgebra Lineal

Teoremas 6.6 y 6.9

Prof, A. OsmanAlumnos :
Parra Juan, 21.531.637Araujo Hugo. 24.975.392

Enero, 2013
Teorema 6.6
Sea {V1,V2, V3,…,Vn} un conjunto no vacio de vectores no nulos de un espacio vecterial E. si existe una relación dedependencia.
α 1v1+α 2v2+α 3v3+…+αkvk=0 para k>1 con coeficientes αk ≠0 de cada vk, entonces
L(v1,v2.v3,…,vn) = L(v1,v2,v3,…,vk-1,vk+1,…,vn)
Demostración: claramente
L(v1,v2,v3,…,vk-1,vk+1,…,vn)≤ L(v1,v2.v3,…,vn)
Una relación de dependencia
α 1v1+α 2v2+α 3v3+…+αkvk =0 significa que
Vk = λ1V1+λ2V2+λ3V3+…+λk-1Vk-1
L(v1,v2.v3,…,vn)= α 1v1+α 2v2+α 3v3+…+αkvk+ αk+1Vk+1+…+αnVn
Si sesustituye esta ecuación en la anterior, tenemos
L(v1,v2.v3,…,vn) = α 1v1+α2v2+α 3v3+…+αk(λ1V1+λ2V2+λ3V3+…+λk-1Vk-1)+ αk+1Vk+1+…+αnVn
Agrupando términos semejantes de Vi, se tiene que
L(v1,v2.v3,…,vn) =(α 1+ αk λ1)V1+( α2+ αk λ2)V2+( α 3+ αk λ3 V3)+…+(αk-1+αk λk-1) Vk-1+ αk+1Vk+1+…+αnVn
Esto significa que el subespacio L(v1,v2.v3,…,vn) también es generado por los vectores V1,V2,V3,…, Vk-1, Vk+1,..,Vnsolamente, esto es , se puede expresar como combinación lineal de v1,v2.v3,…,vn excluyendo el vector Vk, el cual es combinación lineal de los precedentes y podemos concluir diciendo queL(v1,v2.v3,…,vn)≤ L(v1,v2,v3,…,vk-1,vk+1,…,vn) con lo que se completa la demostración.

Ejemplos: Si se tiene un conjunto de vectores A y un conjunto B, en donde los vectores del conjunto B existe relación dedependencia, L(A) = L(B) , ya que uno de los vectores del conjunto B es Combinación Lineal de uno de los vectores del mismo conjunto, por lo tanto, no es necesario para generar el mismo espacio....