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CAP´ ITULO 4 ´ TEST DE HIPOTESIS

Un test de hip´tesis consiste b´sicamente en verificar o refutar una cierta hip´tesis o a o acerca de la poblaci´n X, poblaci´n cuya densidad es f (x | θ), θ ∈ Θ. De esta forma la o o hip´tesis a verificar se escribe en t´rminos del par´metro, por ejemplo, θ ∈ Θ0 , donde o e a Θ0 ⊂ Θ y una alternativa a la hip´tesis anterior es θ ∈ Θ1 , donde Θ0 ∩ Θ1 = ∅; siendoque o Θ1 tambi´n es un subconjunto de Θ. e Esta verificaci´n se realiza considerando una muestra X = (X1 , . . . , Xn ) de la poblao ci´n. Eventualmente uno podr´ considerar una priori π(θ) para θ. o ıa Ejemplo 4.1. En todos aquellos aspectos en donde deseamos contrastar la teor´ con la observaci´n, ıa o aplicamos test de hip´tesis, es as´ como podemos mencionar por ejemplo las siguientes o ı,afirmaciones: 1. Afirmaci´n del comando del candidato X. o “El porcentaje de votaci´n que obtendr´ el candidato en las pr´ximas elecciones es o a o del orden del 45 % ”. En realidad uno dispone de dos hip´tesis, o H0 : p ≥ 0,45 versus H1 : p < 0,45. o 2. El tipo de ampolleta que fabrica la firma A tiene una duraci´n media de 800 horas. Uno puede suponer que el tiempo de vida de una de estas ampolletas Xsigue una distribuci´n exponencial de media λ. o 105

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´ CAP´ ITULO 4 TEST DE HIPOTESIS

Las hip´tesis ser´ o ıan, H0 : λ ≥ 800 versus H1 : λ < 800. En ambos casos, se deber´ seleccionar una muestra aleatoria de la poblaci´n en cuesti´n ıa o o y lo habitual es basarse en una estad´ ıstica para resolver el contraste. Como ya se ha mencionado, probar una hip´tesis formulada en torno a uno ovarios o par´metros de la poblaci´n, la que se sustenta en una determinada teor´ se basa en a o ıa, demostrar que no existe evidencia opuesta al planteamiento realizado. Para llevar a cabo este procedimiento que funciona siempre de la misma manera, se deben considerar los siguientes pasos: 1. Plantear el contraste. H0 : θ ∈ Θ0 versus H1 : θ ∈ Θ1 , En donde Θ0 , Θ1 ⊂ Θ y Θ0 ∩ Θ1 ̸= 0. H0 se llamahip´tesis nula y H1 se llama hip´tesis alternativa. o o 2. Definir una estad´ ıstica T = T (X1 , . . . , Xn ) adecuada, cuya distribuci´n de probabio lidad sea conocida, bajo el supuesto de que H0 sea verdadera. o ıtica, cuya probabilidad es peque˜a, que determine para que n 3. Definir una regi´n cr´ valores muestrales uno debe rechazar H0 . Al determinar esta regi´n cr´ o ıtica o de rechazo, sepueden cometer dos tipos de errores al momento de tomar la decisi´n, que o denominamos error tipo I y error tipo II, los que pasamos a definir a continuaci´n. o El error tipo I es aquel que se comete, si se rechaza H0 cuando H0 es verdadera. La probabilidad de cometer dicho error se denota como α, y su valor se denomina nivel de significaci´n del test o tama˜o del test. o n α = Pr(rechazarH0 | H0 esverdadera) El error tipo II se comete cuando se acepta H0 , dado que H0 es falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II se denota como β. β(·) = Pr(aceptarH0 | H0 es falsa). 4. Toma de decisi´n, aceptar o rechazar H0 . o

4.1 CASO NORMAL UNIMUESTRAL

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Una vez definidos los elementos esenciales de cualquier test de hip´tesis, y los tipos o de error que se pueden cometer, pasaremos arevisar en este cap´ ıtulo la formulaci´n de o hip´tesis considerando la naturaleza de los datos, para lo cual se utilizar´n las siguientes o a distribuciones muestrales: Caso Normal unimuestral. Caso Bernoulli unimuestral. Caso Normal bimuestral. Test de Bondad de Ajuste. Teor´ de Neyman-Pearson. ıa Raz´n de verosimilitud. o

4.1.

CASO NORMAL UNIMUESTRAL

Se dispone de una m.a. X = (X1 , .. . , Xn ) proveniente de la distribuci´n N (µ, σ 2 ). Se o 2 , respectivamente. requiere contrastar hip´tesis acerca de µ y σ o Ejemplo 4.2 (Test relativo a µ cuando σ 2 es conocida). Una m´quina llena paquetes de a 2 ), donde σ 2 = 400gr 2 . caf´ de acuerdo con una distribuci´n N (µ, σ e o La m´quina opera satisfactoriamente cuando µ = 500gr. Una m.a. de 16 paquetes a di´ como resultado una...