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En este caṕıtulo estudiaremos el Sistema de los Ńumeros Complejos, desde el punto de vista del ́algebra. Nos interesan las propiedades más importantes de las operaciones de suma y producto. Veremos la representación ́ geométrica de los ńumeros complejos, ası como también la forma polar o trigonométrica de los mismos. Usando la calculadora se pueden realizar operaciones con estos números enforma rápida y eficiente. Por lo tanto tenemos otra oportunidad para introducir la calculadora en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática.

2.1.Definición de número complejo
Un Número Complejo es una expresión del tipo

z = a + bi

donde a y b son números reales e i es un siımbolo, cuyo significado será aclarado más
adelante.
Este tipo de números, algo misteriosos, por elmomento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación

x2 + x + 1 = 0
no tiene raıces reales. Al tratar de aplicar la fórmula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión

x=(-1 ±√ -3)/2


la cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raız cuadrada de
un número negativo. Sinembargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene


¿ Qué ́ significado se le puede dar a una ra ́ız cuadrada de un n ́umero negativo? ¿Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuaci ́on no tiene solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estás cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crearsistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el sımbolo √ −1 como una entidad matemática nueva.







Veamos a continuación cómo se construyen estos nuevos números.
Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición

i2 = −1
obien
i=√−1

Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma
z = a + bi
donde a y b son números reales.
Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.
Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(z) = b.

Ejemplo El siguiente es unnúmero complejo

z = √2 + √3i.

Su parte real es√ 2 y su parte imaginaria es√ 3.



Ejemplo. El siguiente es un número complejo
z=8

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos.

Ejemplo. El siguiente es un número complejo
z = 12i
Cuando un número complejo no tieneparte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro.









¿Cuando dos números complejos son iguales?
Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales sı y sólo si a = c y
b = d. En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas, real e imaginaria, son iguales.


Suma de números Complejos

Ahora nosdedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos relacionadas con la suma de ellos. La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevocon otro ́numero complejo. Más precisamente

Sean z1 = a1 + b1 y z2 = a2 + b2i dos números complejos. Entonces la suma de z1 con z2 , denotada por z1 + z2 es el número complejo
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.
Ejemplo. Para sumar z1 = 3 + 2 i con z2 = −8 + 4i hacemos
z1 + z2 = (3 + 2i) +...