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Universidad Pedagógica Nacional
“Francisco Morazán”
Facultad de Ciencia y Tecnología
Departamento de Matemáticas
Tópicos en Física, Matemática y Computación
Catedrático: Dr. Adalid Gutiérrez

GEOMETRÍA
FRACTAL

Introducción
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v

Cuando la Matemática estudia la realidad, la
simplifica, bien considerando que los procesos son
lineales, bien suponiendo que las formas son suaves
yregulares.
Pero el uso de las computadoras, que permite la
rápida repetición de procesos, ha permitido ampliar
el campo y estudiar, por ejemplo, los sistemas
dinámicos no lineales, que ocasionan fenómenos
complejos como el caos, y investigar las formas
irregulares que dan lugar a la “geometría fractal”.

Esquema
1.-Breve historia de la geometría fractal
2.-¿Qué es un fractal? ¿Dóndehay fractales?
3.- Características de los fractales
3.1.- Autosimilitud
3.1.1.- Perfecta
3.1.2.- Estadística
3.2.- Dimensión fraccionaria
4.- Tipos de fractales
4.1.- Lineales
4.1.1.- Conjunto de Cantor
4.1.2.-Demostración de la

dimensión fractal

4.1.3- Curva de Koch (Copo de nieve de Koch)
4.1.4- Triángulo de

Sierpinski

4.2.- Complejos
4.2.1.- Conjunto de Julia
4.2.2.-Conjunto de

Mandelbrot

4.3.- Caóticos
4.3.1.- Mariposa de Lorentz
5.- Aplicación de los fractales
6.- Presentación de videos

Breve historia de la Geometría
Fractal
Los fractales tienen su origen con la aparición de ciertos
ejemplos en matemáticas que rompen de manera radical con
el concepto de continuidad que tenían los filósofos y
matemáticos hasta antes de mediados del siglo XIX.Motivado por el problema de los tres cuerpos, Henri
Poincaré, inició un estudio cualitativo en el que empleó
técnicas topológicas, geométricas y de iteración de
funciones. Éste estudio permitió que florecieran ramas
como la geometría diferencial y la topología algebraica.

Breve historia de la Geometría
Fractal

Sólo hasta que surgieron los trabajos de Pierre
Fatuo y Gastón Julia en1920, la dinámica de
funciones analíticas complejas se retomó. Ellos
lograron predecir qué tan intrincados podían ser los
conjuntos que presenten un conjunto caótico.
Sin embargo estos estudios se paralizaron porque
en esa época no se contaba con herramientas (como
computadoras) que permitieran
visualizar los
resultados.

Breve historia de la Geometría
Fractal
Las investigaciones,propiamente dichas

en
Geometría Fractal se inician a partir de 1970 con
el trabajo de divulgación realizado por Benoit
Mandrelbrot quien mostró desde una perspectiva
intuicionista la aplicación inmensa que podrían
tener las estructuras fractales
En 1980, gracias al avance de las
computadoras y las gráficas que representa,
descubrió el conjunto de Mandelbrot, que había
aparecido en lostrabajos de Fatou.

¿Qué es un fractal?
No es fácil definir “fractal” objetivamente, puesto
que se trata de una realidad abstracta. Sin embargo, nos
acercaremos al concepto con la siguiente definición:
“Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura
se repite en diferentes escalas. Esta estructura puede
ser generada por un proceso recursivo o iterativo capaz
de producir estructurassimilares independientemente
de la escala de visualización.”
Los fractales se caracterizan del siguiente modo:
v

Un fractal es un objeto matemático que conforma la
teoría del caos.

¿Dónde hay fractales?
v

v

v

Fronteras: costas, montañas, la orilla de un río, los
bordes de una nube...
Sistemas ramificados: árboles, el sistema arterial o
pulmonar...
Simular imágenes con gran ahorrode memoria en el
ordenador

v

Predicción en bolsa

v

Predicción de la extinción de especies en Biología

Características de los fractales
Autosimilitud
*Perfecta: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas
características del objeto completo.

*Estadística: Cada región de un objeto conserva, de manera
estadísticamente similar, sus características globales....