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REGRESIÓN LINEAL MULTIPLE

En el caso de tener k variables aleatorias independientes que se sabe que están relacionadas en forma lineal con una variable dependiente (Matriz de correlación)
¿Que hacer para modelar esta relación?

Se considera que los valores de la variable dependiente se pueden pronosticar por el modelo

[pic] ó [pic]

En el caso de contar con todos los puntosde la población ó una m.a. de esta población respectivamente. El verdadero valor de Y estará dado como

[pic] ó
[pic] nuevamente [pic]

Considerando el caso de una muestra se tiene que la suma de los errores al cuadrado es:

[pic]

Utilizando el método de mínimos cuadrados para minimizar dicha suma, se obtienen las parciales respecto a cada coeficiente y se igualan a cero,obteniéndose el sistema de ecuaciones:

[pic]

Para resolverlo se definen las matrices:

1 X11 X21 X31 Xk1
1 X12 X22 X31 Xk2
X = 1 X13 X23 X33 Xk3
. . . . .
1 X1n X2n X3n Xkn (n * k+1)
1 1 1 1 Y1
X11 X12 X13 X1n Y2
X21 X22 X23 X2n Y= Y3
Xt = X31 X32 X33 X3n Y4
. . . . ..
Xk1 Xk2 Xk3Xkn (k+1 x n) Yn (n * 1)

n [pic] [pic] [pic] . . . [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]. . . [pic]
A = XtX = [pic] [pic] [pic] [pic]. [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
. .
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] Reescribiendo el sistema de ecuaciones
[pic] en forma matricial:
D =Xty = [pic] A*B =D [pic] B = A-1*D== (Xt*X)-1*D
.
.
[pic]

Resolviendo se obtiene los valores de b1, b2, b3,.. bk conocidos como coeficientes de regresión Neta.
El coeficiente de regresión neta mide el promedio de cambio en la variable dependiente por unidad de cambio en la variable independiente en cuestión, manteniendo constante las demás variablesindependientes.

Se llevo a cabo un conjunto de ensayos experimentales para determinar una forma de predecir el tiempo de cocimiento Y, a varios niveles de amplitud del horno X1, y a varias temperaturas de cocción X2; obteniéndose los siguientes datos.

|y |6.4 |15.05 |18.75 |30.25 |44.85 |48.94 |51.55 |
|Distancia (metros) |16|26 |41 |62 |88 |119 |140 |

a) Obtenga un diagrama de dispersión.
b) Ajuste una curva de regresión múltiple de la forma [pic]
c) Pronostique la distancia de frenado cuando se viaja a 70 Km/hr.

Variables ficticias.
Supuestos en la estimación e inferencias de la regresión lineal múltiple.

Tenemos que para realizar inferencias sobre el modelo esnecesario que se cumpla que:

1. Los valores de Y presentan una distribución normal respecto al plano (o hiperplano) de regresión múltiple en cada uno de sus puntos.
2. La dispersión alrededor de los puntos del plano de regresión permanecen constantes en cualquier punto, varianza constante. (Heterocedasticidad)
3. Los términos del error ((i ) son independientes entre sí.
4. Existe una relaciónlineal entre cada X y Y en la población

¿Como Comprobar que se cumplen estos supuestos?
1- Una prueba de hipótesis de normalidad de los valores de Y en cada punto.
2- En base al diagrama de dispersión
3- Una prueba de hipótesis de aleatoriedad de los errores.
4.- En base a los coeficientes de correlación de Y con cada una de las variables independientes.

¿Como realizar accionescorrectivas?
1.- Tomando una muestra de tamaño n ( 30 para cada punto posible, con lo que el teorema del límite central garantiza la suposición de normalidad para poder realizar las pruebas de hipótesis.
2.- Normalmente este problema se presenta en series de tiempo, en los cuales la varianza de los errores se incrementa con el paso del tiempo. Una solución en el caso de que Y represente dinero es...