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PRESENTACIÓN INFINITESIMALISTA DE LA DIFERENCIAL DE ÁREA
Ismael Arcos Quezada (ismael_arcos@msn.com)
Eugenio Díaz Barriga Arceo (eugeniux@hotmail.com)
Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de México (FIUAEM)
RESUMEN
En este documento se describe la manera en la que se puede presentar el concepto de
diferencial, recuperando el significado geométrico que tenía en losorígenes del
cálculo, el cual se perdió cuando las cantidades infinitamente pequeñas fueron
desechadas. Ello en el entendido de que, en los cursos dirigidos a estudiantes de
ingeniería, uno de los principales propósitos es el de facilitar el acceso al
conocimiento de los conceptos propios de las ciencias de la ingeniería.
Al final del documento se muestra cómo puede recurrirse a latecnología para tener
una perspectiva de las curvas acorde con la perspectiva de la geometría
infinitesimalista que se tenía en el cálculo leibniziano.
INTRODUCCIÓN
Desde sus orígenes, a finales del siglo XVII, el cálculo, tanto el newtoniano como el
leibniziano, fue criticado por una supuesta carencia de fundamento lógico. Así, cuando a
fines del siglo XVIII, Lagrange escribió su Teoría delas funciones analíticas, se propuso
presentar un cálculo que no tuviese las deficiencias de las versiones existentes, en cuanto a
sus fundamentos.
En dicha obra, desde el mismo título anunciaba: “(esta obra) contiene los Principios del
Cálculo diferencial, desprovistos de toda consideración de los infinitamente pequeños, de
los evanescentes, de los límites y las fluxiones, y se reducenal análisis algebraico de
cantidades finitas”. Después, en la introducción de la obra, describe las características de
las versiones de Leibniz y Newton, y las deficiencias presentes en cada una de ellas. Así,
respecto de la presentación al estilo de Leibniz y sus seguidores, Lagrange indicaba:
Los primeros geómetras que emplearon el cálculo diferencial, Leibniz, los Bernoulli,L’Hôpital, etc. lo hicieron bajo la consideración de las cantidades infinitamente pequeñas de
diferentes órdenes, y la suposición de que se pueden ver como iguales, las cantidades que no
difieren entre sí sino por una cantidad infinitamente pequeña respecto de las mismas.
Contentos por haber llegado por los procedimientos de ese cálculo a resultados exactos, no se
ocuparon de demostrar sus principios.Aquellos que les siguieron, Euler, d’Alembert, etc.,
buscaron remediar esa situación, haciendo ver, para aplicaciones particulares, que las
diferencias que se habían supuesto infinitamente pequeñas, deberían ser absolutamente nulas,
y que sus razones, las únicas cantidades que entran realmente en el cálculo, no son otra cosa
que los límites de las razones de las diferencias finitas oindeterminadas.
Más adelante aborda la perspectiva de Newton, indicando los inconvenientes del método de
las fluxiones y del Principio de las últimas razones:
…Newton, para evitar la suposición de los infinitamente pequeños, consideró las cantidades
matemáticas como engendradas por el movimiento, y buscó un método para determinar
directamente las rapideces variables con las cuales seproducen esas cantidades, es aquello
que se ha llamado, después de él, el método de las fluxiones o el cálculo fluxional, por que él llamó fluxiones a esas rapideces. (…) Pero, por un lado, introducir el movimiento en un
cálculo que no tiene por objeto más que cantidades algebraicas es introducir una idea extraña,
que obliga a ver esas cantidades como espacios recorridos por un móvil; por otro, queno se
tiene un idea muy clara de qué es la rapidez de un punto a cada instante.
También Newton mismo, en su libro de los Principios, prefirió por más corto, el método de
las últimas razones de las cantidades evanescentes; y es a los principios de este método que se
reducen en último análisis las demostraciones relativas a las fluxiones. Pero este método
tiene, como aquel de los...