Sdsd

La ley de Malthus
En el siglo XIX, Malthus propuso un modelo para el crecimiento de una población de una especie. Según este modelo, la población crece siguiendo la ley
xk+1 = a xk
donde xk es lacantidad de individuos en el instante k y a es la tasa de crecimiento.
Una justificación muy simple para esta fórmula es pensar que cada individuo tiene en 1 año una cantidad a de hijos y elindividuo origanal muere. Si empiezan 100 indivudos, al segundo año habrá a . 100 individudos, al tercer año, habrá a . a . 100 individuos y así sucesivamente.
Consideremos una función que dada una poblaciónde x individuos, nos diga cuántos individuos habrá al año siguiente. La función que queda definida es f (x) = a x.
Si comienzan x individuos, al año habrá f (x) individuos. A los dos años, habrá f(f (x)) individuos. A los tres años habrá f (f (f (x))) individuos. Esta notación no es muy práctica. Vamos a introducir la notación f k(x) para indicar la aplicación de k veces la función f a x. Porejemplo, f (f (x) ) = f 2(x). Luego de k años, habrá entonces f k (x) individuos.
Por favor, no confundan f k(x) con (f (x))k. Lo primero denota componer f consigo mismo k veces y lo segundo es elevarel valor de f (x) a la potencia k.
Supongamos x0 = 1, a = 2. En la siguiente tabla vemos f k(x0) para algunos valores de k.
|k |f |
| |k(x0) |
|0 |1 |
|1 |2 |
|2 |4 |
|3 |8|
|4 |16 |
|5 |32 |

(tomaremos por convención f 0(x) = x)
Como vemos, según este modelo, la población crece muy rápidamente. Este es un gráfico de f k(x).
[pic]
Aplicar f varias veceses un proceso iterativo que juega un papel muy importante en toda la teoría del caos.
Veamos otra forma de graficar este proceso iterativo.
1. Graficamos la recta f (x) = 2 x. Llamemos r a estarecta.
2. En el mismo grafico, graficamos la recta x. Llamemos s a esta recta.
3. Tomamos un punto cualquiera x0, del eje X. Para obtener f (x0) debemos movernos para arriba o abajo hasta la...