Señor

MATRICES
Una matriz es un arreglo rectangular de números.

Los números están ordenados en filas y columnas.

Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un ejemplo.

2

3

5

1

3

5

7

7

A

4
9

11

13

Esta matriz se identifica A y tiene 16 elementos. Sus elementos están
arreglados en 3 filas y 4 columnas.

El9 es un elemento de la fila 3 y la columna 2, decimos entonces que a32 = 9.
La matriz A es de orden 3 x 4.

El orden de una matriz es m x n, para una matriz de m filas y n columnas.
Denotamos a los elementos de la matriz A , de orden m x n, por su localización en la matriz de la
siguiente forma:

a ij

donde

1 < i < m y 1 < j < n , la i se refiere a la fila , la

j se refiere a lacolumna de ese elemento.
1

6
B

5
1

2
3
7

0
8
4

3

5

6

7

Contesta para la

2

4

Práctica

8

9

matriz B.

a. ¿
Cuál es el orden de B ?
b. Indica los elementos

b23 =

b12 =

La diagonal principal de una matriz mxm, es dada por los elementos

b32 =

b22 =

a ij , tal que i= j.

Matriz cuadrada es una matriz de orden n x n, es decirque tiene la misma cantidad de filas que de columnas.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Matriz identidad , los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás elementos son 0.

1

0

0

1

0

0

0

1

0
Matriz cero

0

0

I

0

0

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

Revisado en ENERO 2009

1

Simplificamos el trabajo para resolver sistemas siutilizamos sólo los coeficientes del sistema.

Con este

propósito podemos representar sistemas de ecuaciones a través de matrices y manipularlas de manera que
resolvamos los sistemas que representan. Representamos un sistema de ecuaciones con una matriz de coeficientes
y un vector con las constantes del sistema.

La matriz de coeficientes se compone de los coeficientes de cada ecuacióndel sistema.
Cada ecuación compone las filas de la matriz y cada columna representa a una de las variables del sistema.

3x

Ejemplo

4y

5

→

x - 2y 1

3
1

Sistema

4
2

Matriz de coeficientes

Un vector es una matriz que consta de una sola fila o de una sola columna.
Ejemplos

2

vector columna

1

orden 2x1

3

4

vector fila orden 1x2

Para el sistemadel ejemplo anterior el vector de las constantes es

5
1

Matriz aumentada es una matriz en la que además de los coeficientes incluimos las constantes como la última
columna de la matriz. Esta matriz se utiliza para resolver sistemas por el método de Gauss J
ordan o Eliminación
Gausiana.

La matriz aumentada del ejemplo anterior es:

3x

4y

5

x - 2y 1

Práctica

→

3
14

5

2 1

Representa cada sistema con su respectiva matriz de coeficientes y el vector de constantes. Especifica

para cada uno el orden de las matrices.

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

Revisado en ENERO 2009

2

2x 3y
1.

4

5x 4 y 1
2x 4 y

2.

1

3y 2
3x

3y

z

4x

4.

2z

2x

3.

y
5y

z

1
4
2

3x - 2y = 4
6x + y = 13RESOLVER SISTEMAS M X M UTILIZANDO LA LEY DE CRAMER.

Para esto necesitamos calcular el determinante de una matriz.
Determinantes
Denotamos al determinante de la matriz A de orden n x n,
det A ó | A |

Determinante de una matriz 2 x 2.
Sea

A=

a 11

a 12

a 21

a 22

det A =

a11 a22 - a12 a21.

Ejemplo
B=

2

-1

4

-3

det B = (2)(-3) - (-1)(4) = -6 - (-4) = -2Práctica
1.

2

3

0

-5

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

Revisado en ENERO 2009

3

2.

3 12
1

3
3.

6

4

2
1

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 3X3

2
D

1
1

1
2
2

1
4
3

Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación:
Procedimiento (forma corta )
1. Añade al final de la matriz dada, las primeras dos columnas de la esa matriz....