Se necesita una vida

Matemáticas I - 1o Bachillerato
Binomio de Newton
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Pedro Castro Ortega
Departamento de Matemáticas

Matemáticas I - 1o BACHILLERATO
Binomio de Newton

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El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un
binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para
desarrollar laexpresión:
(a + b)n , n ∈ N
Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera. Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: (3x+5)n ,(4xz +6y)n , (6a−4b)n ,
etcétera.
Veamos el desarrollo de algunas potencias de a + b:
• (a + b)0 = 1
• (a + b)1 = a + b
• Cuadrado de una suma: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab +b2
• Cubo de una suma: (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
• (a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = (a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 )(a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
• Utilizando el ejemplo anterior, si a = 2x y b = 3: (2x + 3)4 = (2x)4 + 4(2x)3 3 + 6(2x)2 32 + 4(2x)33 + 34 =
= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81
Observa que los coeficientes de cada polinomioresultante siguen la siguiente secuencia:
1
1
1
1
1

1
2

3
4

1
3

6

1
4

1

Observa además que las potencias del primer sumando del binomio, a, comienzan por n y en cada sumando van disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumando
del binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a n.
La estructuraen triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia. Observa que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos “unos”. A partir de la
tercera fila, el método de construcción es el siguiente:
• Primer número: 1.
• Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.
1

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• Último número: 1.
Observa también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual
al antepenúltimo, etc.
De esta forma sería fácil hallar (a + b)5 :
• La fila siguiente del triángulosería:

1

5

10

10

5

1

• Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente secuencia:
a5 b0

a4 b1

a3 b2

a2 b3

a1 b4

a0 b5 ,

a4 b

a3 b2

a2 b3

ab4

b5

o sea:
a5
Por tanto:
(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
La construcción del triángulo anterior no es así por capricho, o por casualidad. Sino que esconsecuencia
de la definición de número combinatorio.
Para definir un número combinatorio es preciso saber con anterioridad lo que es el factorial de un
número, n!, que se define de la siguiente forma:
0! = 1,

que se lee “cero factorial”.

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1,

que se lee “n factorial”.

Por ejemplo:
• 1! = 1
• 3! = 3 · 2 · 1 = 6
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
• 6!= 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
• 12! = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 479001600. Este último factorial se ha realizado con la
calculadora (¡busca la tecla que hace esta operación!).
Un número combinatorio es un número natural de la forma
Para obtenerlo se aplica la siguiente fórmula:
n
m

=

n!
m!(n − m)!

Veamos algunos ejemplos:
2

n
, donde n
m

m y se lee“n sobre m”.

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Pedro Castro Ortega
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•

0
0

=

0!
1
=
= 1,
0!(0 − 0)!
1·1

1
0

=

1!
1
=
= 1,
0!(1 − 0)!
1·1

1
1

=

1!
1
=
=1
1!(1 − 1)!
1·1

•

2
0

=

2!
2
=
= 1,
0!(2 − 0)!
1·2

2
1

=

2!
2
=
= 2,
1!(2 − 1)!
1·1

2
2

=

2!
2
=
=1...