Secante

Método de la Secante
En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.
El método de la secante es muy similar al de Newton con ladiferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada.
El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1), f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el ejede abscisas obteniendo la fórmula.

Etimología
La palabra “Secante” viene del latín: secans-tís, de secante: cortar. En geometría, línea recta que corta a una circunferencia, parábola, elipse, etc…
La palabra secante tiene un homónimo, pues también se refiere como adjetivo a las propiedades de ciertas sustancias de absorber por ejemplo la humedad, como el “Papel Secante” qué usábamos en laescuela, como así también a compuestos químicos que se agregan a las pinturas u otras sustancias para acelerar su secado o “curado”.

Definición
La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente.
Dados los puntosde intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante empleando para saber la respuesta de ésta operación se emplea en matemáticas la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.
Lo que hace básicamentees ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

Sustituyendoesta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:
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Figura: Representación geométrica del método de la secante. |
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En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación de arriba. En la figura se representageométricamente este método.
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson.
Forma de hacerlo:
Primero hay que definir algunos conceptos como:
Xn: es el valor actual de X
Xn- 1: es el valor anterior de X
Xn+1: es el valor siguiente de X
Para simplificar la formula que se usa en este método se dirá que:
A=Xn-1
B=Xn+1C=Xn
Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentra la raíz.
Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que sellaman A y C.
Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f©. Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la formula B=((Af©)-(C(f(A)))/(f©-f(A)).
A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la fórmula para...