Sección Conica

SECCIÓN CÓNICA
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO

Sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar losconceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entrelos puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.




CURVA EN EL PLANO XY
Una curva en el plano es un conjunto de puntos (x,y) que se obtienen mediante dos ecuaciones x(t) e y(t), es decir, una curva es en realidad una aplicación deR _ R2 , de forma que a cada punto t _ (x(t), y(t)).

Ejemplo:
T (x(t),y(t))
0 (0,0)
1 (1,1)
2 (2,4)
-1 (-1,1)

R _ R2 Podemos hacer una pequeña tabla de valores:

t _ (t,t2) x(t)= t

y(t) = t2

En este caso x(t) e y(t) son funciones continuas y el conjunto de valores es una parábola.













LUGAR GEOMÉTRICO

El lugar geométrico de los puntos que equidistan ados puntos fijos y (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que se interseca perpendicularmente con un segmento en su punto medio ( ).

PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

- Foco Es el punto fijo F.
- Directriz Es la recta fija d.
- Parámetro Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
- Eje Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
- Vértice Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
- Radio vector Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema depotencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax²
Aplicando una sustitución de coordenadas podemosobtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero...