seccion conica

CONICAS.

 INTRODUCCIÓN.
La primera definición de sección cónica (de un cono circular recto) apareció en
la civilización Griega. Apolonio de Perga (siglo II a. C.) efectuó estudios matemáticos
sobre las secciones cónicas, de los cuales compuso el tratado sobre las curvas cónicas.
Durante muchos siglos, las cónicas no tuvieron un papel relevante en los
estudios matemáticos, hasta que sedescubrió que el mundo que nos rodea está lleno de
secciones cónicas, ya que por ejemplo, los estudios de Galileo demostraron que las
trayectorias de los proyectiles siguen una trayectoria parabólica o que los estudios de
Kepler demostraron que los planetas seguían una trayectoria elíptica. Además, las
secciones cónicas tienen diferentes aplicaciones en la vida real, como por ejemplo: loscables de los puentes colgantes, los detectores de radar o los focos de los coches tienen
forma parabólica; las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas, en óptica y
propagación de ondas se utilizan lentes elípticas.

 SECCIONES CÓNICAS.
 Se denominan SECCIÓN CÓNICA
a la curva intersección de un plano con
un cono.
Un CONO es aquel que se puede
generar al girar una recta s conrespecto a otra
r

P
P0

no paralela r (denominada eje de rotación).

v = (a,b,c)

P0 = P0 (x0, y0, z0 ) = r ∩ s
θ

Se denomina VÉRTICE del CONO, si

P0 P

v = (a,b,c) el vector director de r (| v |=1)
θ = Ángulo(r,s) ( 0º < θ < 90º ).
P = P(x,y,z) pertenece al CONO si
cumple:
uuur

r
(P P gv )
0

2

uuur r
= P0P × v × cos q

(

)

2

Desarrollando dicharelación y teniendo en cuenta que a ² + b ² + c ² = 1, queda

(a × (x – x ) + b × (y – y ) + c × (z – z ))

2

0

0

0

(

)

= (x – x 0 ) + (y – y 0 ) + (z – z 0 ) × cos2 q
2

2

2

1

CONICAS.
que simplificando queda la siguiente ecuación implícita1:
F (x , y, z ) º
= (cos2 q – a 2 ) × (x – x 0 ) + (cos2 q – b 2 ) × (y – y 0 ) + (cos2 q – c 2 ) × (z – z 0 ) —
2

22

— 2 × éa × b × (x – x 0 ) × (y – y 0 ) + a × c × (x – x 0 ) × (z – z 0 ) + b × c × (y – y 0 ) × (z – z 0 )ù = 0
ê
ú
ë
û

Para ver como es una SECCIÓN CÓNICA (intersección de un CONO con un
PLANO), podemos considerar
P0

= (0,0,z0 ) con z0 ≠ 0 el vértice del CONO.

θ

el ángulo que forma cualquier generatriz (recta contenida en la superficie
del cono) del cono con el eje derotación r

π

: G(x,yz) = z = 0, es decir el plano XY.

Si además, consideramos
α

= Ángulo (v, π ) ,.

podemos tomar
v

= ( 0, cos α, sen α ) el vector de la recta r.

y la SECCIÓN CÓNICA, cumplirá el siguiente sistema
F (x, y, z ) º (cos2 q ) × x 2 + (cos2 q – cos2 a) × y 2 + (cos2 q – sen 2a) × (z – z 0 ) — 2 × cos a × sen a × y × (z — z 0 ) = 0
2

G (x , y, z ) º z = 0Resultando

la

ecuación

de

la

cónica

siguiente:
θ α
P0

C (x, y, z ) º

v

º (cos2 q ) × x 2 + (cos2 q – cos2 a) × y 2 —
2
— 2 × cos a × sen a × z 0 × y –

π

2
— (cos2 q – sen 2a) × z 0

=0

Que podemos simplificar con la notación:
C (x , y, z ) º A × x 2 + B × y 2 + C × y + D = 0
donde

2
2
A = cos2 q ; B = (cos2 q – cos2 a) ;C = —2 × cos a × sen a × z 0 ;D = – (cos2 q – sen 2a) × z 0

1

Si P0 = (0,0,0) y v = (0,0,1), dividiendo por cos²θ , la ecuación implícita sería:

F (x , y, z ) º x 2 + y 2 – tg 2q × z 2 = 0
Es decir es un caso particular de una CUÁDRICA (superficie algebraica de grado 2).

2

CONICAS.
Como A > 0, dependiendo del signo de θ - α, obtenemos las siguientes curvas:
Si θ - α > 0

Si θ - α = 0

Si θ - α < 0

⇒B > 0, ecuación de una

⇒ B = 0 , C < 0, ecuación de

⇒ B < 0 , ecuación de una

ELIPSE.

una PARÁBOLA.

HIPÉRBOLA.

 Además, hemos descartado el punto z0 = 0, ya que en este caso sería una
CÓNICA DEGENERADA, cuyas posibles soluciones (no cónicas) son:
Si θ > α .

La única solución es el punto P = (0,0,0)

Si θ = α .

La solución es la recta que contiene al eje OY.

Si θ <...