Secciones Cónicas

571

Cap´
ıtulo 12: Las c´nicas
o

Cap´
ıtulo 12

LAS CONICAS
12.1

Secciones c´nicas
o

A Menecmo (350 A.C.), tutor de Alejandro Magno, se le atribuye la invenci´n de las secciones c´nicas o simplemente c´nicas, nombre con que se
o
o
o
designa a la par´bola, elipse e hip´rbola. Ellas originalmente se obtuviea
e
ron como secciones planas que se produc´ al intersecar unasuperficie c´nica
ıan
o
circular recta por medio de planos.
En efecto, consideremos una superficie c´nica circular recta C de v´rtice
o
e
V y cort´mosla por un plano Π que
e
no pase por V , tal como se se˜ala en
n
la figura 12.1. Sean E1 y E2 dos superficies esf´ricas inscritas en la sue
perficie c´nica y tangentes al plano
o
Π en F1 y F2 , respectivamente.
Sean Π1 y Π2 los respectivos planosde las circunferencias de contacto entre las superficies esf´ricas E1 y E2 y
e
la superficie c´nica C.
o

Π1 B
E

Π
A
F

B·
l

Π2

E·

Fig. 12.1

Estos dos ultimos planos son perpendiculares al eje de C; sean
´
tivamente las intersecciones de Π con Π1 y Π2 .

1

y

2,

respec-

Se demuestra que la curva C de intersecci´n entre C y Π es una secci´n c´nica
o
o o
quetiene a F1 y a F2 por focos y a 1 y 2 , respectivamente, como directrices
correspondientes.
Sigamos observando la figura 12.1 y sea α el ´ngulo que forman los planos Π
a
y Π1 ( y tambi´n Π con Π2 ) y sea β el ´ngulo formado por Π1 con cualquier
e
a
generatriz de la superficie c´nica (este ´ngulo es claramente constante). Si P es
o
a
←→

cualquier punto de C y trazamos la recta P Aperpendicular en A con
←→

1,

como

tambi´n dibujamos la generatriz V P la que interseca a las circunferencias de
e
←→

←→

contacto en B1 y B2 , respectivamente; como P F y P B son tangentes a E1 ,
resulta:
P B = P F.
(1)

572

TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

Masju´n / Arenas / Villanueva
a

←→

Por P tracemos la perpendicular P Q a Π1 . Con ello se consigue eltri´ngulo
a
rect´ngulo AP Q en Q y, por lo tanto:
a
P Q = P Asen α .

(2)

Adem´s, en el tri´ngulo P BQ rect´ngulo en Q tenemos:
a
a
a
P Q = P Bsen β .

(3)

De (1), (2) y (3) se consigue:
PF
sen α
=
.
PA
sen β

(4)

Como los ´ngulos α y β son costantes para cada plano Π, resulta que el segundo
a
miembro de (4) es una constante positiva que acost´mbrase a designar por e
u
yse llama excentricidad de la c´nica, consigui´ndose:
o
e
PF
=e.
PA
Esta ultima relaci´n, seg´n veremos m´s adelante, es la condici´n geom´trica
´
o
u
a
o
e
que define a una c´nica.
o

(1)

(2)
Fig. 12.2

(3)

Es claro que el ´ngulo β es constante para una superficie c´nica dada, no as´ el
a
o
ı
´ngulo α que var´ cuando el plano Π toma posiciones diferentes; con ello si
aıa
α = β se tiene e = 1 resultando que la secci´n c´nica es una par´bola, cuyo
o o
a
significado es comparaci´n por igualdad (ver la figura 12.2-(1) de la p´gina
o
a
anterior). Si α < β se tendr´ e < 1 y se conseguir´ la secci´n c´nica llamaa
a
o o
da elipse, cuyo significado es d´ficit (ver la figura 12.2-(2) ). Si α > β se
e
obtendr´ e > 1 y la secci´n c´nica ser´ una hip´rbola, quesignifica exceso
a
o o
a
e
(ver la figura 12.2-(3) ). Por ultimo si α = 0, luego e = 0, resulta que el
´

573

Cap´
ıtulo 12: Las c´nicas
o

plano Π es perpendicular al eje de la superficie c´nica y la secci´n ser´ una
o
o
a
circunferencia.
Es adecuado que el lector compare esta definici´n de c´nica con la que ya
o
o
hemos dado en el cap´
ıtulo nueve en el p´rrafo de coordenadaspolares.
a

12.2

La par´bola
a

Definici´n 12.2.1 Dados un punto F (conocido como foco) y una recta d
o
(llamada directriz), se denomina par´bola al lugar geom´trico de los puntos
a
e
P del plano que equidistan tanto del foco como de la directriz.
Visualizando la figura 12.3, tenemos
que la distancia entre la directriz d
y el foco F es el par´metro de la
a
par´bola, y el se...