Secciones Cónicas

SECCIONES CÓNICAS Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando esparalelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola. Hagamos un esquema de lo que hemos dicho:

Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su vértice y llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la generatriz del mismo y, llamamos β al ángulo que forma el plano con el eje del cono. Según la relación entre estosángulos, ambas superficies se cortarán en: • una circunferencia si β = 90º • una elipse si α < β < 90º • una parábola si α = β • las dos ramas de una hipérbola si α > β

Las cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras:

Circunferencia PARÁBOLA

Elipse

Parábola

Hipérbola

Definición Se llama parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan de un puntofijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz. Ecuación de la parábola A partir de la definición deduciremos la ecuación de una parábola que tenga el vértice en el origen de coordenadas y la directriz paralela al eje x, por lo tanto el foco es el punto F(0, p) ¿Puedes dar la ecuación de la directriz? Recuerda que por ser paralela al eje x estará representada por una ecuación del tipo y =k(constante).

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la parábola entonces la distancia de P al foco es:

d(P, F) = ( x 2 + ( y − p) 2 y la distancia de P a la directriz (de ecuación y = – p) es: d = y+p Luego si el punto está en la parábola debe verificar que d(P, F) = d, es decir
( x 2 + ( y − p) 2 = y + p

Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene x + ( y − p) = ( y + p)
2 2 2⇒ x + y − 2py + p = y + 2py + p

2

2

2

2

2

x2 ⇒ x = 4py ⇒ y = 4p
2

x2 La ecuación normal o canónica de la parábola con foco en (0, p) y directriz y = – p es y = 4p 1 Si llamamos a = , la ecuación canónica se transforma en y = ax 2 4p
Elementos distintivos de una parábola La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El puntomedio entre el foco y la directriz se denomina vértice. Es claro que el vértice es un punto que pertenece al eje de la parábola. Gráfica de la parábola Puede notarse que la gráfica es simétrica respecto del eje y porque la ecuación no cambia cuando se reemplaza x por – x . Además y = 0 sólo cuando x = 0, por lo tanto el único punto en común entre la gráfica y el eje x es el origen de coordenadas.También puede observarse que si p > 0 (y por lo tanto a > 0), y toma valores siempre positivos y cuando p < 0 (y por lo tanto a < 0), y toma valores siempre negativos. Teniendo en cuenta estas observaciones las gráficas son:

Si ahora pensamos en una parábola con vértice en el origen pero foco en (p, 0) y la directriz de ecuación x = – p obtenemos la ecuación x =

1 2 y 4p

Trata de graficarhaciendo observaciones análogas a las hechas para el caso anterior. ¿Cuál es el eje de la parábola? ¿Cuál es el vértice? ¿Tiene la gráfica algún punto en común con los ejes coordenados? ¿Es simétrica respecto a algún eje coordenado?
Ejemplo 1: Dada la ecuación y 2 + 6x = 0 , halla la ecuación canónica de la parábola, indica el vértice, el foco y la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?

y23 Escribimos la ecuación en la forma x = − , y obtenemos que 4p = – 6 , de donde p = − < 0. 6 2 Con estos datos sabemos que el foco está en el punto (– 3/2, 0), el vértice es el origen de 3 coordenadas y la directriz es la recta de ecuación x = . El eje de la parábola es el eje x. 2

Trata de pensar ahora que ocurre si el vértice no está en el origen, para orientarte damos algunos ejemplos....