SECCIONES CONICAS

Secciones Cónicas
Definición: son curvas obtenidas por la intersección de una superficie plana y dos conos opuestos por el vértice, las cuales dependen de la forma que se corte el cono pudiéndose obtener: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas.
Generalidades: dependiendo de los valores que se le den a las variables de la ecuación general o ecuación de segundo grado se puede obtener unacircunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola.
Ecuación de 2º grado: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 llamada ecuación general de segundo grado, donde los coeficientes A, B y C no sean simultáneamente cero.
Si en la ecuación general el coeficiente B=0 la ecuación resultante ax2+cy2+dx+ey+f=0 representa un lugar geométrico que siempre es una cónica (si no es degenerada).
Si A=0 o C=0 será unaparábola.
Si A y C tiene el mismo signo será una elipse
Si A=C será una circunferencia
Si A y C son de signos contrarios será una hipérbola
D y E indican que el centro de la cónica (cuando lo hay), está afuera del origen de las coordenadas, si D=0 el centro esta sobre el eje “y”, si E=0 esta sobre el eje “x”.
F es el termino independiente indica si la cónica pasa no por el origen, si F=0 si pasapor el origen.
En la ecuación los coeficientes de los términos nos A, B y C nos permiten identificar qué tipo de cónica se tiene, incluyendo los casos degenerados, procediendo a analizar el discriminante (o invariante) B2-4AC como sigue:
Si B2-4AC=0, se trata de una parábola (o como caso degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes).
Si B2-4AC0, se trata de una hipérbola (o como casodegenerado un par de rectas que se cortan).
Los ejes de estas cónicas son oblicuos con respectos a los ejes x,y.

La elipse
Definición: es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. Surge al cortar el conocon una superficie plana que no sea paralela a ningún eje ortogonal.
Generalidades:
”A” es igual a la distancia del centro al vértice del eje mayor.
”B” es igual a la distancia del centro al vértice del eje menor.
”C” es igual a la distancia del centro a cualquiera de los puntos fijos o focos.
El centro de la elipse es un punto del eje mayor el cual esta situado a la mitad de losvértices.
El lado recto de la elipse es un segmento de recta que pasa por dos puntos fijos o focos y tiene a la elipse como lados extremos.

Características:
una elipse es una línea curva cerrada que podemos observar al cortar la superficie de un cono por medio de un plano oblicuo al eje de la simetría.
Los focos de la elipse son dos el eje mayor y el eje menor la suma de los focos desdecualquier distancia es constante.
Los focos de la elipse están asociados con una recta paralela al semieje menor llamado directriz.
Parámetros de cálculo:
La ecuación de una elipse con centro e el origen y con eje focal en el eje X, es:
La ecuación de la elipse con centro en el origen y con eje focal en Y, es:
La ecuación de la elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo a un ejecoordenado:
Ecuación ordinaria de una elipse cuyo centro está en (h,k) y su eje mayor es paralelo al eje Y:
Elipse degenerada
Si se tiene la ecuación polar de una elipse basta con restar del ángulo θ el ángulo que se desee rotar el eje de la elipse.
Por ejemplo: la cónica está representada por la ecuación polar

La ecuación de la elipse rotada se obtiene reemplazando θ por θ-Ejemplos:
1) Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). 
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 se tiene que, , por tanto
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0),...