Secciones Conicas

Distancia entre dos puntos en un plano
El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de lasabscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valorabsoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Curva en el plano XYUna curva en el plano es un conjunto de puntos (x,y) que se obtienen
mediante dos ecuaciones x(t) e y(t), es decir, una curva es en realidad una
aplicacion de R R2 , de forma que a cada punto t (x(t), y(t)).
Ejemplo:
R R2 Podemos hacer una pequena tabla de
valores:
t (t,t2) x(t)= t----------------------y(t) = t2
t | (x(t), (y(t) |
0 | (0,0) |
1 | (1,1) |
2 | (2,4) |
-1 | (-1,1) |

En este caso x(t) e y(t) son funciones continuas y el conjunto de
valores es una parabola.

Lugar geométrico
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos quesatisfacen determinadas propiedades geométricas: en el plano y secciones conicas
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En el plano
Ejemplos de lugares geométricos en el plano:
* El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos y (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que se interseca perpendicularmente con unsegmento en su punto medio ().
* La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a las rectas anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométricoque sigue a continuación.
* Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si,por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
Secciones cónicas
Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:
* La circunferencia es el lugar geométrico de lospuntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
* La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).
* La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta...