SECCIONES_CONICAS

Introduccin Las cnicas estn presentes en la vida cotidiana, en la naturaleza, en el arte. Por ello, su estudio nos ofrece una buena oportunidad para resaltar el carcter instrumental de las matemticas La Matemtica es el modo de comprender el mundo (Pitgoras). Por otro lado, en el estudio de las cnicas (que conjuga de forma armnica las diferentes ramas de la geometra sinttica, mtrica, analtica,proyectiva, diferencial,...) resalta el carcter global de las matemticas El carcter unitario de las Matemticas reside en la esencia intrnseca de esta Ciencia pues la Matemtica es el fundamento de todo conocimiento cientfico riguroso HYPERLINK http//divulgamat2.ehu.es/html/Geometria/Glosario/glosario.html l Hilbert(Hilbert). Historia de las cnicas El matemtico griego Menecmo (vivi sobre el 350 A.C.)descubri estas curvas y fue el matemtico griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cnicas y encontrar la propiedad plana que las defina. Apolonio descubri que las cnicas se podan clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de elipses, hiprbolas y parbolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando unasuperficie cnica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hiprbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cnica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista). Las parbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cnica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista). Apolonio demostr que las curvas cnicastienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizs las propiedades ms interesantes y tiles que descubri Apolonio de las cnicas son las llamadas propiedades de reflexin. Si se construyen espejos con la forma de una curva cnica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elpticos, parablicos ohiperblicos, segn la curva que gira. Apolonio demostr que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parablico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permiteencender un papel si se coloca en el foco de un espejo parablico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arqumedes (287-212 A.C.) logr incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parablicos. La propiedad anloga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de losautomviles concentren el haz en la direccin de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperblicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. En el siglo XVI el filsofo y matemtico Ren Descartes (1596-1650) desarroll un mtodo para relacionar lascurvas con ecuaciones. Este mtodo es la llamada Geometra Analtica. En la Geometra Analtica las curvas cnicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado ms sorprendente de la Geometra Analtica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cnicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas lascnicas son las curvas ms importantes que la geometra ofrece a la fsica. Por ejemplo, las propiedades de reflexin son de gran utilidad en la ptica. Pero sin duda lo que las hace ms importantes en la fsica es el hecho de que las rbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, ms an, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cnica. El astrnomo alemn...