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La potencia de exponente cero
Definición. La potencia de cualquier base real a ≠ 0 y cualquier exponente entero n se define como:
a1 = a
an+1 = an.a
Con eso queda definidala potencia para todo exponente entero (puesto que podemos pasar tanto de an á  an+1como de an+1 á  an por el principio de recurrencia entera, que no es otra cosa que lageneralización del principio de inducción completa para los enteros).
Teorema. Si a ≠ 0 entonces a0 = 1.
Demostración. Basta con escribir la segunda ecuación de la definición para n =0:
a1 = a0.a
Y dividiendo por a en ambos lados de la ecuación se obtiene el teorema.
Propiedades de las potencias de números naturales
1 Un número elevado a 0 es igual a 1Ejemplo:
50 = 1
2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

Ejemplo:
51 = 5
3 Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponentees la suma de los exponentes.

Ejemplo:
25 · 22 = 25+2 = 27
 

5 Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de losexponentes.

Ejemplo:
(25)3 = 215
7 Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Ejemplo:
63 :33 = (6:2)3=23

Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican esa potencias.
 
Sitenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc)n=an·bn·cn
Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto como factor n veces; luego:

 

 
Estapropiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.
 
EJEMPLO
Resolver (3×4×5)2           SOLUCIÓN: (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600