Secuencia Geometrica
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Publicado: 23 de octubre de 2011
Secuencia geométrica
1.Secuencia en la que cada término (después del primero) tiene una relación fija con respecto al término anterior. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, 16... La fórmula general para el enésimo término de una secuencia geométrica a n es a1rn-1 en donde a1 es el primer término y r es la relación fija. 2.Una Progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la quecada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3 y asísucesivamente. Aunque es más fácil aplicando la fórmula: es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
Siendo
el término en cuestión,
el primer término y
la razón:
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
3. La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. La razón no necesariamente tieneque ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, semultiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión, Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r Si se procede a restar de esta igualdad la primera: Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an_______________________________ Sn r - Sn = - a1 + an r o lo que es lo mismo, Sn ( r - 1 ) = an r - a1 Si se despeja Sn,
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como an = a1 rn-1 Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tienelo siguiente:
con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:
Si el valor absoluto de larazón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, modo que: tiende hacia 0, de
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
4.Es una secuencia que en vez deincrementar o disminuir un número se consigue multiplicando o dividiendo y no restando y sumando. ARITMETICA: RESTANDO Y SUMANDO AL ANTERIOR GEOMETRICA: DIVIDIENDO O MULTIPLICANDO AL ANTERIOR un ejemplo: 2, 4, 8, 16 multiplicando por 2 al anterior. 5.Una secuencia geométrica es una secuencia de números en la que la relación entre los términos consecutivos es constante. Podemos escribir una fórmula para...
1.Secuencia en la que cada término (después del primero) tiene una relación fija con respecto al término anterior. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, 16... La fórmula general para el enésimo término de una secuencia geométrica a n es a1rn-1 en donde a1 es el primer término y r es la relación fija. 2.Una Progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la quecada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3 y asísucesivamente. Aunque es más fácil aplicando la fórmula: es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
Siendo
el término en cuestión,
el primer término y
la razón:
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
3. La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. La razón no necesariamente tieneque ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, semultiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión, Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r Si se procede a restar de esta igualdad la primera: Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an_______________________________ Sn r - Sn = - a1 + an r o lo que es lo mismo, Sn ( r - 1 ) = an r - a1 Si se despeja Sn,
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como an = a1 rn-1 Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tienelo siguiente:
con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:
Si el valor absoluto de larazón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, modo que: tiende hacia 0, de
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
4.Es una secuencia que en vez deincrementar o disminuir un número se consigue multiplicando o dividiendo y no restando y sumando. ARITMETICA: RESTANDO Y SUMANDO AL ANTERIOR GEOMETRICA: DIVIDIENDO O MULTIPLICANDO AL ANTERIOR un ejemplo: 2, 4, 8, 16 multiplicando por 2 al anterior. 5.Una secuencia geométrica es una secuencia de números en la que la relación entre los términos consecutivos es constante. Podemos escribir una fórmula para...
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