segundo parcial de calculo vectorial manny 2012

TIPO A
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
14 DE OCTUBRE DE 2011
PEDRO RAMIREZ MANNY
CÁLCULO VECTORIAL

GRUPO 10

SEM.2012-1

A. PATERNO A. MATERNO NOMBRE(S)
INSTRUCCIONES:
1) Este examen debe ser resuelto sincalculadora.
2) La respuesta de cada pregunta se debe escribir con pluma. No se aceptan decimales en la solución.
3) La puntuación que se pondrá a la solución de cada ejercicio, se basará en la forma enque este
fundamentada dicha solución, el uso correcto de los conceptos y de la notación.
4) Todas las hojas blancas para examen se deben devolver.
5) No importa el orden en que se resuelvan losproblemas, pero si en el desarrollo de una solución requiere
escribir en otra página, favor de indicarlo.

1)

⎧⎪( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 1
Sea la curva C : ⎨
⎪⎩ y = 2
a) Hacer un dibujo de C, mostrando enel las superficies que la forman.
b) Obtener unas ecuaciones paramétricas de C.
c) Calcular la torsión.

2) Sea la curva C representada por:
⎛ s ⎞ˆ
⎛ s ⎞ˆ ⎛ s ⎞ˆ
r ( s ) = 2cos ⎜
i
+
2
sen
⎟
⎜
⎟ j+⎜
⎟k . Calcular, para el punto
5
5
5
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
P ( 2,0,0 ) , los vectores T , N y la curvatura.

3) Sea r ( u , v ) = ( − senu + 2v cos u ) iˆ + ( cos u + 2vsenu ) ˆj + ( 2v ) kˆ una
ecuaciónvectorial de la superficie S, obtener una ecuación cartesiana
del plano tangente a S en el punto P 0, 2,1 .

(

)

4)

⎧u = 3 x 2 − y 2 +3
. Determinar:
Sea la transformación: T : ⎨
3
v
=
xy
+
4
⎩
a) Si elsistema de coordenadas ( u , v ) es ortogonal.
b) El factor de escala hu .
∂ ( x, y )
.
c) El jacobiano de la transformación
∂ ( u, v )

5) Sea el campo vectorial
f ( ρ ,θ , z ) = ( zsen 2θ ) eρ + ( 2zsenθ cosθ ) eθ + ( ρ sen 2θ ) ez en coordenadas

∇• f =

∇ xf =

1
hu h v h w

hu e u
∂
∂u
hu f u

hv e v
∂
∂v
hv f v

hw ew
∂
∂w
hw f w

∇2 f =

1
hu hvhw

100

5)20

1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
eu +
ev +
ew
hu∂u
hv ∂v
hw ∂w

TOTAL

4)20

∇f =

3)20

2)20

1)20

PUNTUACIÓN

cilíndricas. Determinar si el campo es irrotacional.

∂
∂
⎡∂
⎤
⎢ ∂u ( hv hw fu ) + ∂v ( hu hw fv ) + ∂w ( hu hv f w ) ⎥
⎣
⎦

1 ⎡ ∂ ⎛...