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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Gráficas de las funciones racionales
Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de x crecen mucho. Es importante que hayas entendido los argumentos que se dieron en la sección anterior para poder justificar por qué las gráficas de cada función tienen la forma que se muestra en cadaejemplo. Empezamos con un ejemplo muy sencillo de función racional. Estudia analíticamente la gráfica de la función racional: y= Calcula su dominio y su contradominio. • La primera pregunta que debes hacer al encontrar una función racional es: ¿Qué valor de x hace que el denominador de la función sea cero? • En este caso la respuesta es muy sencilla: «Si x = 2, entonces, x − 2 = 0.» • Entonces, lafunción no está definida cuando x = 2, porque en ese caso tenemos división entre cero. • En ese punto la función no tiene gráfica. • Observa que el signo del cociente depende del denominador, porque el numerador siempre es positivo. • Para valores en los que x > 2, el resultado de x − 2 es positivo. • Entonces, los resultados del cociente 1/( x − 2) también serán positivos. • Por otra parte, cuandox < 2, se tiene que x − 2 < 0. • Ahora los valores de y = 1/( x − 2) serán negativos. • Como en la cercanía del punto x = 2, los valores del cociente crecen mucho, la gráfica de la función se va a infinito por un lado y a menos infinito por el otro. • Para calcular el dominio de la función vamos a responder la pregunta: ¿Para qué valores de x la función asigna valores a y? • La respuesta a estapregunta es: «para todos los números reales, excepto 2». • La excepción del 2 se debe a que cuando x = 2 el denominador se hace cero y la división no tiene sentido entonces. • Este resultado se escribe así: R − {2}. Comentario Comentario 1 x−2 Ejemplo 1

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y 5 4 3 2 1 f (x) = 1 2 Asíntota 3 4 5 6 1 x−2 7

−2 −1 0 −1 −2 −3 −4−5

x

• El contradominio consiste en el conjunto de los números reales, excepto el cero. • Eso es evidente de la gráfica y del análisis que se acaba de hacer. • Entonces, el contradominio de la función es: R − {0}.

Para justificar que el cero no está en el contradominio de la función observa que si existe algún 1 = 0, necesariamente debemos tener que 1 = 0 · ( x − 2) = 0. Aquí hemos valor xpara el cual x−2 llegado a una conclusión que no tiene sentido: 1 = 0. Esto nos indica que la suposición inicial no tiene sentido. Esa suposición inicial decía: «existe algún 1 valor x para el cual = 0», la cual es, entonces, falsa. x−2 Estudia analíticamente la gráfica de la función racional: Ejemplo 2 Calcula su dominio y su contradominio. • La primera pregunta que debes hacer al encontrar unafunción racional es: Comentario ¿Qué valor de x hace que el denominador de la función sea cero? • La respuesta es muy sencilla: «Si x = r, entonces, x − r = 0.» • La función no está definida cuando x = r ¿Puedes explicar por qué? • Para valores en los que x > r, el resultado de x − r es positivo. • Entonces, los resultados del cociente 1/( x − r ) también serán positivos.
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1 x−r

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• Y cuando x < r, se tiene que x − r < 0, con lo que los valores de 1/( x − r ) serán negativos. • Como en la cercanía del punto x = r los valores del cociente crecen mucho, la gráfica de la función se va a infinito por un lado y a menos infinito por el otro. • La siguiente gráfica muestra esta situación: y

f (x) = r Asíntota

1 x−r

x• De nuevo, la discontinuidad de la función aparece en el punto en el que el denominador se hace cero. • El dominio de esta función corresponde al conjunto: R − {r }. • El contradominio consiste en el conjunto de los números reales, excepto el cero. • Eso es evidente de la gráfica y del análisis que se acaba de hacer. • Entonces, el contradominio de la función es: R − {0}.

Podemos...