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IES Fco Ayala de Granada

Sobrantes 2014 (Modelo 1 ) Soluciones

Germán-Jesús Rubio Luna

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2014 MODELO 1

OPCIÓN A
EJERCICIO 1 (A)
 -5 0 
 -1 -8 -1
Sean las matrices B = 
 y C= 

4
6


 -9 3 6 
a) (0’5 puntos) Determine la dimensión que debe tener una matriz A para que se verifique la igualdad
t
A·B = 2C .
b) (2 puntos) Halle la matrizA anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos a31 = 2, a12 = -3 y
a22 = 1.
Solución
 -5 0 
 -1 -8 -1
Sean las matrices B = 
 y C= 

 4 6
 -9 3 6 
a)
Determine la dimensión que debe tener una matriz A para que se verifique la igualdad
t
A·B = 2C .
 -1 -9 
 -1 -8 -1


t
Como C = 
,
su
traspuesta
es
C
=

 -8 3 
-9
3
6

2x3
 -1 6 

3x2

Sabemos que para podermultiplicar matrices, el número de columnas de la 1ª debe coincidir con el número
de filas de la 2ª, y el resultado del producto tiene filas de la 1ª y columnas de la 2ª. En nuestro caso:
t
A3x2·B2x2 = 2C 3x2. En nuestro caso la matriz A tiene de orden 3x2.
b)
Halle la matriz A anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos a31 = 2, a12 = -3 y a22 = 1.
 x -3 
 -1 -9 
 -5x-12 -18 
-2 -18 

  -5 0 






t
La ecuación es A·B = 2C , es  y 1  · 
=
2·

=
-8
3
-5y+4
6





 -16 6 
4
6

2 z  
 -1 6 
 -10+4z 6z 
 -2 12 








Igualando término a término tenemos:
-5x - 12 = -2; -18 = -18; -5y + 4 = -16; 6 = 6; -10 + 4z = -2; 6z = 12. Con lo cual:
-5x - 12 = -2  - 10 = 5x  x = -2.
-5y + 4 = -16  20 = 5y  y = 4.
6z = 12  z = 2.
 -2 -3


La matriz pedida es A =  4 1 
2 2



EJERCICIO 2 (A)
3
-x
Sea la función f(x) = -2x + a·e + b·x - 1.
a) (1’5 puntos) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en x = 0 y que la gráfica
de la función pasa por el punto (0,0).
b) (1 punto) Para a = 0 y b = 1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el
punto de abscisa x = −1.Solución
3
-x
Sea la función f(x) = -2x + a·e + b·x - 1.
a)
Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en x = 0 y que la gráfica de la función
pasa por el punto (0,0).
Como f pasa por el punto (0,0), tenemos f(-4) = -5.
Como f tiene un mínimo en el punto de abscisa x = 0, tenemos f’(0) = 0.
3
-x
2
-x
f(x) = -2x + a·e + b·x - 1; f’(x) = -6x - a·e + b.
0

De f’(0) = 0  - a·e +b = 0  - a + b = 0, de donde a = b.
0
De f(0) = 0  a·e - 1 = 0  a - 1 = 0, luego a = 1 y b = 1.
b)
Para a = 0 y b = 1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de
1

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abscisa x = -1.
3

2

Para a = 0 y b = 1, f(x) = -2x + x - 1; f’(x) = -6x + 1
La recta tangenteen x = -1 es y - f(-1) = f’(-1)·(x - (-1))
3
3
f(x) = -2x + x - 1  f(-1) = -2(-1) + (-1) - 1 = 2 - 2 = 0.
2
2
f’(x) = -6x + 1  f’(-1) = -6(-1) + 1 = -6 + 1 = -5.
La recta tangente en x = -1 es y - (0) = -5·(x + 1), de donde y = -5x - 5.
EJERCICIO 3 (A)
Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que: p(A) = 0’5 y p(B) = 0’3.
a) (0’5 puntos) Diga, razonadamente, si A y Bson sucesos incompatibles.
b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A y no suceda B?
C
c) (1 punto) Calcule p(A/B ).
Solución
Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que: p(A) = 0’5 y p(B) = 0’3.
a)
Diga, razonadamente, si A y B son sucesos incompatibles.
Como son sucesos independientes  p(AB) = p(A)·p(B) = 0’5·0’3 = 0’15.
Sabemos que si A y B sonsucesos incompatibles, p(AB) = 0; como p(AB) = 0’15, los sucesos no son
incompatibles.
b)
¿Cuál es la probabilidad de que suceda A y no suceda B?
C

Piden p(A y noB) = p(AB ) = p(A) - p(AB) = 0’5 – 0’15 = 0’35.
c)
C
Calcule p(A/B ).
p  A  BC 
p(A) - p  A  B 
C
p(A/B ) =
;= 0’35/(1 – 0’3) = 0’5;

C
1 - p(B)
p(B )
EJERCICIO 4 (A)
Una panadería produce barras de pan cuya longitud, medida en...