SEL

SISTEMAS ECUACIONES LINEALES
Generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales
De…nition 1 Sea n 2 N: Llamamos ecuación lineal en las n variables x1 ; x2 ;
y coe…cientes reales a cualquier ecuación de la forma
a1 x1 + a2 x2 +
donde ai ; i = 1;

+ an x n = b

; xn

(1)

; n: son números reales.

Una n tupla de números reales (s1 ; s2 ;
; sn ) se denomina una solución de la
ecuación (1) sisatisface a dicha ecuación, esto es,
a1 s 1 + a2 s 2 +

+ an s n = b

es decir, al reemplazar a las incognitas x1 ; x2 ;
; xn por los números s1 ; s2 ;
; sn ;
respectivamente, y efectuar las operaciones indicadas a la izquierda, obtenemos una igualdad.
De…nition 2 Sean m; n 2 N: Llamamos sistema de ecuaciones lineales (S.E.L) de
tamaño m n; en las n variables x1 ; x2 ;
; xn a cualquier conjunto de mecuaciones
lineales en las n variables x1 ; x2 ;
; xn . Esto es, un S.E.L de tamaño m n tiene la
forma
a11 x1 + a12 x2 +
+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +
+ a2n xn = b2
(2)
..
..
..
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 +
donde aij ; i = 1;

; m; j = 1;

+ amn xn = bm

; n son números reales.

Si en cada una de las ecuaciones del S.E.L (2) ; se cumple que bi = 0; decimos que el
sistema es homogéneo. En otro caso sedice quees no homogéneo.
Una n tupla de números reales (s1 ; s2 ;
; sn ) se denomina una solución del sistema
(2) si es solución de cada una de las ecuaciones en el sistema, esto es,

..
.

a11 s1 + a12 s2 +
a21 s1 + a22 s2 +

..
.

am1 s1 + am2 s2 +

+ a1n sn = b1
+ a2n sn = b2

..
.

+ amn sn = bm

El conjunto de todas las soluciones de un S.E.L se le llama conjunto solución del sistema. Si elconjunto solución de un S.E.L es no vacio, decimos que el sistema es consistente,
y en otro caso se dice que es inconsistente.
El sistema (2) también puede ser escrito como
!
A!
x = b

1

(3)

donde
0

a21 a22
..
B ..
.
B .
B
A = B ai1 ai2
B .
..
@ ..
.
am1 am2

1
a2n
..
.. C
..
.
.
. C
C
aij
:
ain C ;
..
.. C
...
.
. A
amj :
amn
a2j
..
.

0

B
B
B
!
x =B
B
@

x1
x2
..
.
..
.
xn

1
C
C
C
C
C
A

y0

B
! B
B
b =B
B
@

b1
b2
..
.
..
.
bm

1
C
C
C
C
C
A

La ecuación (3) se denomina forma matricial del sistema (2), la matriz A se denomina
matriz de coe…cientes y la matriz
(A j b)
se conoce como matriz ampliada de sistema.
Si (s1 ; s2 ;
; sn ) es una solución del sistema
Ax = b
decimos que (s1 ; s2 ;

; sn ) es una solución particular del sistema.

Sistemas equivalentes
De…nition 3 Dos sistemasde ecuaciones lineales con n variables se denominan equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto solución.
Proposición. Un sistema de ecuaciones lineales dado es equivalente al sistema de ecuaciones lineales obtenido aplicando sobre él, cualquiera de las operaciones descritas a continuación
1. Multiplicar ambos miembros de cualquier ecuación por un número real no nulo.
2. Intercambiar dosecuaciones cualesquiera.
3. Adicionar a una ecuación un múltiplo escalar de otra.
Además, aplicar una de estas operaciones sobre un S.E.L es equivalente a aplicar la misma
operación sobre las correspondientes …las de la matriz ampliada.
Demostración (Ejercicio).
Algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
La proposicipon anterior nos provee de un algoritmo que nos permite determinarsi un S.E.L
dado es o no consistente, y en caso de serlo nos permite obtener el conjunto solución del
mismo. Este algoritmo consiste en lo siguiente:
1. Escribimos la matriz ampliada del sistema.
2. Aplicamos operaciones elementales sobre las …las de la matriz ampliada, hasta obtener
la forma escalonada o escalonada reducida de la matriz de coe…cientes.
3. Decidimos acerca de la existencia o no desoluciones, atendiendo a lo siguiente:
a. Si la matriz obtenida en (2) tiene una …la de la forma
0 0

0 jr

concluimos que el sistema no tiene solución.
2

;

r 6= 0

b. Si no existe …la de la forma dada arriba concluimos que el sistema es consistente, y
procedemos a determinar el conjunto solución.
Ejemplos
Obtenga el conjunto solución del sistema de ecuaciones dado en cada caso
1. Un sistema...