Selección de Materiales para una Viga Empotrada de Sección Circular

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey

Aplicaciones de los Materiales

Tarea Específica #2

Presentan: Adriana García Aragón - A00808989
Marcos Gluyas Ozuna - A00957732

Fecha de entrega: 24 de Septiembre de 2013

Selección de Materiales para una Viga Cilíndrica
Introducción
El caso de una viga en cantiléver, universalmente, ha sidoconsiderado para una
gran variedad de análisis mecánicos, debido a la flexibilidad que este tipo de situación
muestra, dependiendo del material utilizado y de los usos para los que se requiera. En
este caso particular, se consideró una viga empotrada y con un extremo libre, con una
fuerza aplicada en él. El objetivo principal a lo largo de la realización de la tarea fue
el de elegir el material idealpara la construcción de la viga, buscando siempre que
fuera ligero y tuviera un diámetro limitado al espacio que se tiene disponible. De igual
manera, se agregaron limitaciones adicionales para el material elegido, que están
asociadas con la temperatura de operación y la resistividad eléctrica del mismo.
Finalmente, se tomó una decisión basándonos en la capacidad del material para
cumplir conlos requerimientos, tomando en cuenta también la disponibilidad del
material y su costo, tanto de adquisición como de fabricación.

Rigidez
Derivación de Fórmulas
La primera parte de la selección de materiales se enfocaba en buscar un material
para la viga que cumpliera con las condiciones antes mencionadas, pero tomando un
enfoque especial en la rigidez de la misma. Por tanto, se hizo usode las fórmulas
vistas a lo largo de los distintos cursos de mecánica de materiales, para encontrar
maneras de tomar a la rigidez como característica central y en base a ella derivar el
resto de las fórmulas requeridas. A continuación, se muestra la derivación de las
fórmulas hasta llegar a la obtención de los índices de desempeño que se utilizaron
para la selección de materiales, realizadacon el apoyo del software CES Edupack
2012.

Inicialmente, se asumió una viga cilíndrica de radio r y de longitud L, sometida a
una flexión elástica 𝛿 causada por la fuerza de tensión F ubicada en su extremo libre.
Se identificó la necesidad de una expresión que relacionara la masa con la rigidez del
material, con lo que se obtuvo lo siguiente:
𝛿=

𝐹𝐿!
3𝐸𝐼

En la ecuación, los factoresE e I pertenecen a los módulos de elasticidad y el
momento de inercia, respectivamente. Para una viga cilíndrica de radio r, el momento
de inercia es:
𝜋𝑟 !
𝐼=
4

De aquí, se puede obtener:

𝛿=

4𝐹𝐿!
3𝜋𝐸𝑟 !

Tomando en cuenta que la masa es la multiplicación de la densidad por el
volumen, entonces se obtiene que:
𝑚 = 𝜋𝑟 ! 𝐿𝜌
Además, el radio de la viga en términos de la masa es:𝑟=

𝑚
𝜋𝐿𝜌

Si se sustituye r en la expresión de la de la flexión elástica, obtenemos como
resultado:
4𝐹𝐿!

𝛿=
3𝜋𝐸

𝑚
𝜋𝐿𝜌

!

4𝐹𝐿! 𝜋𝜌!
=
3𝐸𝑚!

Finalmente, despejando la masa se llega a la expresión:

𝑚=

4𝐹𝐿! 𝜋
3𝛿

𝜌
𝐸

En este caso, la masa del material que experimenta una determinada flexión en
!
respuesta a una fuerza aplicada es proporcional al cociente ! delmaterial. Este
cociente se denomina índice de desempeño, y se manifiesta como parte vital del resto
del proceso de selección, que fue efectuado en el software.

Utilización del Software de Selección de Materiales (CES Edupack 2012)
A continuación se presenta la grafica obtenida para el índice de desempeño de la
rigidez, graficando el modulo de Young (E) y la densidad, con pendiente de la rectade 2.
La grafica también considera restricciones:
1. Temperatura de operación mínima: 120 °C
2. El material debe ser conductor eléctrico con una resistividad máxima de 0.250
Ω mm²/m
3. Se optó por tener una tercera restricción de precio máximo de 100 dólares/ Kg,
para obtener una mejor selección del material.

Los materiales obtenidos a partir del índice de desempeño y de las...