selectividad matemáticas 2014 junio

IES Fco Ayala de Granada

Septiembre de 2014 (General Modelo ) Soluciones

Germán-Jesús Rubio Luna

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2014 MODELO (COMÚN)

OPCIÓN A
EJERCICIO 1 (A)

 1 -7 
 1 0
Sean las matrices A = 
 y B= 
.
 2 -1 
 -5 2 
a) (1’25 puntos) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica
X+Y=A
y
3X + Y = B.
t
b) (1’25 puntos)Halle la matriz Z que verifica B·Z + B = 2I2.
Solución
 1 -7 
 1 0
Sean las matrices A = 
 y B= 
.
 2 -1 
 -5 2 
a)
Calcule las matrices X e Y para las que se verifica
X+Y=A
y
3X + Y = B.
X+Y=A
→
X+Y=A
→
X+Y=A
→
2X = B – A
→
X = (1/2)·(B – A), de donde
3X + Y = B (F2 – F1)
Y = A – X = A – (1/2)·(B – A) = A – (1/2)B + (1/2)A = (3/2)A – (1/2)B.
  1 -7   1 0 
 0 -7   0 -7/2 
Luego X = (1/2)·(B – A) = (1/2)·  
.
 = 
−
  = (1/2)· 
2
-1
-5
2
 7 -3   7/2 -3/2 
 


0 
-21/2 
 1
 1 -7 
 1 0   3/2 -21/2   1/2
Y = (3/2)A – (1/2)B = (3/2)· 
 – 
.
 = 
 – (1/2)· 
 = 
6/2
-3/2
-5/2
2/2
11/2
-5/2 
2
-1
-5
2
 





 
b)
t
Halle la matriz Z que verifica B·Z + B =2I2.
1 0
-1
t
Como det(B) = |B| =
= 2 – 0 = 2 ≠ 0, existe la matriz inversa B = (1/|B|)·Adj(B ).
-5 2

0 
 1 -5 
 1
2 0
2 0
t
t
-1
t
B = 
 ; Adj(B ) = 
 = 
.
 , luego B = (1/|B|)·Adj(B ) = (1/2)· 
0 2 
 5/2 1/2 
 5 1
 5 1
También se podría haber calculado por el método de Gauss
La matriz B tiene inversa si mediante transformaciones elementales porfilas de Gauss, podemos llegar
-1
de (B|I2), a la expresión (I2|B ).
0 
0 
 1 0 1 0
1 0 1
 1
 1 0 1 0
-1
(B|I2) = 
≈
≈
 , por tanto B = 
.


 -5 2 0 1  F2 + 5F1  0 2 5 1  F2 /2  0 1 5/2 1/2 
 5/2 1/2 
t
t
t
De B·Z + B = 2I2, tenemos B·Z = 2I2 - B . Multiplicando la expresión B·Z = 2I2 - B por la izquierda, por la
-1
-1
-1
t
-1
-1
t
-1
-1
tmatriz inversa B , tenemos B ·B·Z = B ·(2I2 - B ) → I2·Z = 2·B - B ·B → Z = 2·B - B ·B .
2
-1
t
- B ·B = 2·(1/2)· 
5
-5 
 2 -10 
2 0  1
- (1/2)· 
 = 

 - 
5
-23
5
1
5/2
-23/2




 

La matriz pedida es Z = 2·B

2 0
= 

 5 1

-1

0
 2 0   1 -5 
 ·
 =
 - (1/2)· 
1
 5 1  0 2 
5 
 1
= 
.
5/2
25/2

EJERCICIO 2 (A)
Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los
3
2
últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t - 36t + 162t - 6,
con 0 ≤ t ≤ 10.
a) (0’8 puntos) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año (t = 10)?.
b) (1’7 puntos) ¿En qué momentos se obtiene elmáximo y el mínimo beneficio y cuáles son sus cuantías?
Solución
Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los
3
2
últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t - 36t + 162t - 6,
con 0 ≤ t ≤ 10.
a)
¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año (t = 10)?.
Para t =0, B(0) = -6, es decir en el periodo inicial ha tenido unas perdidas de 6 mil euros.

1

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Germán-Jesús Rubio Luna

2

Para t = 10, B(10) = 2(10) – 36(10) + 162(10) – 6 = 14, es decir en el periodo final ha tenido unas
ganacias de 14 mil euros
b)
¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimobeneficio y cuáles son sus cuantías?
Sabemos que B(t) es una función continua y derivable en todo R, en particular es continua en 0 ≤ t ≤ 10, y
derivable en 0 < t < 10.
También sabemos que los extremos absolutos de B(t) se encuentran entre las soluciones de B’(t) = 0, y los
extremos del intervalo t = 0 y t = 10.
B(t) = 2t - 36t + 162t – 6 → B’(t) = 6t - 72t + 162.
3

2

2

De B’(t) = 0,...