Selenoides

´ EL SOLENOIDE DIADICO
Joel P´rez Guerrero e Dirigido por: Dra. Patricia Pellicer Covarrubias Facultad de Ciencias UNAM Agosto 2009
Resumen. Los solenoides han sido objeto de inter´s en varias ´reas de la matem´tica, desde los sise a a temas din´micos y la geometr´ algebraica hasta la topolog´ En este art´ a ıa ıa. ıculo presentamos una introducci´n geom´trica elemental del solenoide di´dico. oe a

1.

Introducci´n. o

La teor´ de los continuos es una de las grandes ramas de la topolog´ la cual se encarga ıa ıa, de estudiar las propiedades de los espacios m´tricos, compactos y conexos; a un espacio e no vac´ que tiene estas tres propiedades se le conoce como un continuo. Una familia de ıo espacios que se ha estudiado de manera importante en la teor´ de los continuos es la de ıalos solenoides. El objeto de estudio de este art´ ıculo es un solenoide particular, llamado solenoide di´dia co. Este solenoide fue el primero en ser descubierto, y fue el austriaco Leopold Vietoris el primer matem´tico que lo estudi´. Cabe mencionar que la construcci´n anal´ a o o ıtica que aqu´ se presenta es esencialmente la misma que dio Leopold Vietoris en su art´ ı ıculo de 1927 [Vi]. Apartir de entonces varios autores han estudiado a los solenoides; uno de los m´s a conocidos es el matem´tico holand´s David van Dantzig quien, en 1930, dio una conocia e da construcci´n geom´trica de los solenoides como intersecci´n anidada de toros s´lidos o e o o ([Da]). Posteriormente, desde un punto de vista completamente distinto H. Freudenthal estudi´ a los solenoides, esta vez como l´ o ımitesinversos de circunferencias ([Fr]). Independientemente, A. van Heemert y A.D. Wallace estudiaron a los solenoides como grupos topol´gicos ([He] y [Wa]). o El estudio de los solenoides ha cobrado gran importancia en las ultimas d´cadas por ´ e su aparici´n en diversas ramas de la matem´tica; por ejemplo, en la teor´ de sistemas o a ıa din´micos se estudian los atractores, de los cuales algunosresultan ser solenoides [De, a Secci´n 2.5, p´gs. 201-211]. Tambi´n se tiene que en el estudio de la topolog´ algebraica o a e ıa 1

los solenoides son de gran importancia para la teor´ de espacios foliados [Mo, Cap´ ıa ıtulo 2, p´gs. 38-39], entre otros. a Es importante mencionar que el solenoide di´dico tiene muchas y muy interesantes propiea dades; por ejemplo, el solenoide di´dico es un grupotopol´gico, es decir, se le puede dar a o una operaci´n (¡continua!) con la que resulte ser un grupo, de tal manera que enviar cao da elemento a su inverso tambi´n resulte ser una funci´n continua. Una vez establecido e o que el solenoide di´dico se puede ver como grupo topol´gico, no es dif´ probar que es a o ıcil homog´neo (es decir, para cada par de puntos p y q existe un homeomorfismo que env´ eıa uno en el otro). Otra propiedad peculiar de los solenoides es que ¡todos sus subcontinuos propios son arcos! M´s a´n, C. Hagopian caracteriz´ a los solenoides en el sentido de que si un continuo a u o tiene esta propiedad y es homog´neo, entonces es un solenoide ([Ha, Theorem 2, p´g. 434]). e a Una propiedad m´s de los solenoides tiene que ver con el concepto de indescomponia bilidad : Decimosque un continuo es descomponible si se puede expresar como la uni´n de o dos de sus subcontinuos propios, y es indescomponible si ´ste no es el caso. Como el lector e podr´ f´cilmente verificar, un arco y una curva cerrada simple son descomponibles, sin a a embargo, no todos los continuos lo son. Resulta ser que los solenoides son continuos indescomponibles; m´s precisamente, seg´n prob´ A. vanHeemert, los solenoides coinciden a u o con la clase de los grupos topol´gicos abelianos que son continuos indescomponibles ([He]). o Finalmente, mencionaremos una ultima propiedad muy interesante: el solenoide di´dico ´ a no puede ser la imagen continua de ning´n subcontinuo del plano. Esto fue demostrau do por M. K. Fort, Jr. ([F, Theorem 2, p´g. 541]; esta ultima propiedad en realidad la a ´...